Поплавок

Запишите правило рычага относительно точки закрепления для горизонтального положения: учтите вес каждого цилиндра и архимедову силу, приложенную к целому поплавку.

Будем решать в некотором смысле обратную задачу: для каждого угла найдём точку, в которой надо закрепить «поплавок», чтобы система находилась в равновесии. Сперва разберёмся с углом \(\alpha=0\), то есть найдём точку \(O\), в которой надо закрепить поплавок, чтобы равновесным было горизонтальное положение.

Пусть длина «поплавка» равна \(2l\), а точка \(O\) находится на расстоянии \(k\cdot l\) от левого края. Правило рычага относительно \(O\), учитывая только силу тяжести и силу Архимеда: \[F_{т2}\,(kl-l/2)+F_{арх}\,(l-kl)=F_{т1}\,(l/2+l-kl).\] Пусть объём поплавка равен \(2V\), тогда \[\rho_2 V\,(kl-l/2)+2V\rho_{в}\,(l-kl)=\rho_1 V\,(l/2+l-kl).\] Сократив на \(Vl\) (с учётом \(g\) во всех слагаемых), получим \[\rho_2(k-1/2)+2\rho_{в}(1-k)=\rho_1(1/2+1-k).\] Отсюда \(k(\rho_1+\rho_2-2\rho_{в})=\dfrac{3\rho_1+\rho_2}{2}-2\rho_{в}\), значит \[k=\frac{3\rho_1+\rho_2-4\rho_{в}}{2(\rho_1+\rho_2-2\rho_{в})}=\frac{2700+800-4000}{2\,(900+800-2000)}=\frac{5}{6}.\] Теперь посмотрим на ситуацию, когда «поплавок» повёрнут на угол \(\alpha\) к горизонтали. Все силы по-прежнему направлены по вертикали, а значит, отношение их плеч останется неизменным. Найденное положение точки закрепления отвечает равновесию для любого угла: это безразличное равновесие.

Если «поплавок» закреплён в другой точке, равновесное положение — вертикальное, то есть угол равен \(\pm 90^\circ\). Устойчиво то положение, в котором найденная точка \(O\) находится «выше» точки закрепления. Поэтому искомый график имеет вид, представленный на рисунке (по оси абсцисс отложено отношение \(LO/LR\), то есть \(kl/2l=k/2\)).