Две точки в пространстве

Перейдём в систему отсчёта \(X'Y'Z'\), связанную с точкой \(A\). Время в этой системе отсчёта совпадает со временем в исходной системе отсчёта, а точка \(A\) покоится в начале координат. Поэтому задача упрощается — для решения задачи нужно рассматривать только движение точки \(B\).

Выясним сначала, с какой скоростью движется в новой системе отсчёта точка \(B\). Из графиков, приведённых в условии, следует, что в исходной системе отсчёта точки \(A\) и \(B\) имели следующие проекции скорости на координатные оси \(XYZ\).

Точка \(A\): \(v_{Ax} = -1\) м/с, \(v_{Ay} = 2\) м/с, \(v_{Az} = -4\) м/с.

Точка \(B\): \(v_{Bx} = -4\) м/с, \(v_{By} = -2\) м/с, \(v_{Bz} = 8\) м/с.

В новой системе отсчёта точка \(B\) имеет следующие проекции скорости на координатные оси \(X'Y'Z'\): \[v_{Bx'} = v_{Bx} - v_{Ax} = -3\text{ м/с},\quad v_{By'} = v_{By} - v_{Ay} = -4\text{ м/с},\quad v_{Bz'} = v_{Bz} - v_{Az} = 12\text{ м/с}.\] Значит, в системе отсчёта \(X'Y'Z'\) точка \(B\) движется со скоростью \(V_{B(r)'} = \sqrt{(v_{Bx'})^2 + (v_{By'})^2 + (v_{Bz'})^2} = 13\) м/с, которая представляет собой скорость движения точки \(B\) относительно точки \(A\).

Теперь выясним, по какой траектории движется точка \(B\) относительно точки \(A\). Очевидно, что она представляет собой прямую линию, расположение которой нетрудно установить. Действительно, как следует из графиков, в момент времени \(t = 0\) точка \(B\) в системе отсчёта \(X'Y'Z'\) имела координаты \(x_0' = 3\) м, \(y_0' = 4\) м, \(z_0' = 0\) м, то есть находилась в плоскости \(X'Y'\) (см. рис. 1.24). Расстояние от начала отсчёта до точки \(B\) в этот момент составляло \(s_0' = \sqrt{(x_0')^2 + (y_0')^2 + (z_0')^2} = 5\) м.

В момент времени \(t = 1\) с точка \(B\) в новой системе отсчёта имела координаты \(x_1' = 0\) м, \(y_1' = 0\) м, \(z_1' = 12\) м, то есть находилась на оси \(Z'\), и расстояние от неё до начала координат было равно \(s_1' = 12\) м. Отсюда видно, что начало координат (в котором находится точка \(A\)) и точки, в которых находилась точка \(B\) в моменты времени \(t = 0\) с и \(t = 1\) с, являются вершинами прямоугольного треугольника с гипотенузой \(s' = 13\) м, причём точка \(B\) движется вдоль гипотенузы. Значит, минимальное расстояние \(h\) между точками \(A\) и \(B\) равно минимальному расстоянию от начала координат до гипотенузы, то есть длине высоты, опущенной на гипотенузу: \[h = s_0'\dfrac{s_1'}{s'} = \dfrac{60}{13}\text{ м} \approx 4{,}62\text{ м}.\] К тому моменту, когда расстояние между точками \(A\) и \(B\) будет минимальным, точка \(B\) пройдёт вдоль гипотенузы расстояние \(L = \sqrt{(s_0')^2 - h^2} = \dfrac{25}{13}\) м. Поскольку точка \(B\) в системе отсчёта \(X'Y'Z'\) движется со скоростью \(V_{B(r)'}\), то это случится через время \[T = \dfrac{L}{V_{B(r)'}} = \dfrac{25}{169}\text{ с} \approx 0{,}15\text{ с}.\] Задачу можно решить и более формальным способом. Запишем законы движения точек \(A\) и \(B\) в системе координат \(XYZ\): \[x_A(t) = 9 - t,\quad y_A(t) = 3 + 2t,\quad z_A(t) = 7 - 4t;\] \[x_B(t) = 12 - 4t,\quad y_B(t) = 7 - 2t,\quad z_B(t) = 7 + 8t.\] Тогда зависимость квадрата расстояния между точками от времени даётся выражением: \[S^2(t) = \left(x_A(t) - x_B(t)\right)^2 + \left(y_A(t) - y_B(t)\right)^2 + \left(z_A(t) - z_B(t)\right)^2 = 169t^2 - 50t + 25,\] то есть представляет собой квадратичную функцию. Из теоремы Виета следует, что она имеет минимум при значении аргумента, равном взятому с обратным знаком отношению коэффициента при \(t\) к удвоенному коэффициенту при \(t^2\): \[T = -\dfrac{-50}{2\cdot169} = \dfrac{25}{169}\text{ с}.\] При этом минимальное значение расстояния между точками равно \[S(T) = \sqrt{169\cdot\left(\dfrac{25}{169}\right)^2 - 50\cdot\dfrac{25}{169} + 25} = \dfrac{60}{13}\text{ м}.\]