Сила взаимодействия полосок линии

На полоски линии, описанной в задаче, действуют две силы: кулоновская сила электростатического притяжения \(F_{\text{К}}\), обусловленная наличием на поверхности полосок зарядов, и сила Ампера \(F_{\text{А}}\), связанная с протеканием тока и отталкивающая пластинки друг от друга. Согласно условию, при некотором сопротивлении нагрузки \(R_0\) сила взаимодействия проводников равна нулю. Это означает, что при данном сопротивлении нагрузки силы Кулона и Ампера уравновешивают друг друга. Вычислим кулоновскую силу, приходящуюся на единицу длины линии. Выделим участок линии длиной \(l\). Пусть на нём находится заряд \(q\). Тогда \(\dfrac{F_{\text{К}}}{l} = \dfrac{qE}{2l}\). В этой формуле \(E\) — напряжённость электрического поля между полосками линии, которая представляет собой плоский конденсатор. В формуле учтено, что кулоновская сила равна произведению заряда, находящегося на рассматриваемом участке пластины, на величину напряжённости поля, создаваемого другой пластиной, равную \(E/2\). Выразим погонную кулоновскую силу через величины, заданные в условии задачи: \[\dfrac{F_{\text{К}}}{l} = \dfrac{qE}{2l} = \dfrac{qU}{2bl} = \dfrac{CU^2}{2bl} = \dfrac{\varepsilon_0aU^2}{2b^2}.\] Здесь \(C/l = \varepsilon_0a/b\) — ёмкость плоского конденсатора, приходящаяся на единицу длины линии.

Теперь найдём силу Ампера, приходящуюся на единицу длины линии. Она пропорциональна квадрату силы тока: \[\dfrac{F_{\text{А}}}{l} = BI^2 = B\left(\dfrac{U}{R_0}\right)^2.\] Коэффициент пропорциональности \(B\) можно найти, приравнивая \(F_{\text{К}}/l\) и \(F_{\text{А}}/l\): \[B = \dfrac{\varepsilon_0aR_0^2}{2b^2}.\] Из полученных формул следует, что после увеличения сопротивления нагрузки в \(n = 5\) раз кулоновская сила не изменится, а сила Ампера уменьшится в \(n^2\) раз. Значит, после увеличения сопротивления полоски линии будут притягиваться. Сила их притяжения \(f\), приходящаяся на единицу длины, будет равна разности сил Кулона и Ампера \[f = \dfrac{\varepsilon_0aU^2}{2b^2} - B\left(\dfrac{U}{nR_0}\right)^2,\] откуда, с учётом выражения для \(B\), получаем: \[f = \dfrac{\varepsilon_0aU^2}{2b^2}\left(1 - \dfrac{1}{n^2}\right) \approx 0{,}042\text{ Н/м}.\]