Кольцо на вертикальной спице

Сделаем чертёж и изобразим на нём все силы, действующие на кольцо (см. рис. 1.93). Это сила тяжести \(mg\), приложенная к центру кольца, а также силы трения \(F_{\text{тр}}\) и нормального давления спицы на кольцо \(N\), приложенные в точке касания кольца и спицы и направленные вверх и перпендикулярно спице соответственно. Кроме того, понятно, что для устойчивого вращения кольца оно должно быть наклонено под некоторым углом \(\alpha\) к вертикали — так, чтобы сумма моментов сил \(N\) и \(F_{\text{тр}}\) относительно центра кольца была равна нулю, или, что то же самое, равнодействующая этих сил лежала в плоскости кольца.

Запишем уравнения движения. Для этого можно заменить кольцо материальной точкой массы \(m\), расположенной в его центре. Из рисунка видно, что центр кольца движется по окружности радиусом \(r\sin\alpha\), причём центростремительное ускорение обеспечивается силой \(N\). В вертикальном же направлении кольцо удерживается силой трения \(F_{\text{тр}}\). Уравнения имеют вид: \[N = m\omega^2r\sin\alpha;\quad F_{\text{тр}} = mg;\quad F_{\text{тр}} \leqslant \mu N;\quad N = F_{\text{тр}}\operatorname{tg}\alpha.\] Решая их, получим условие для величины угловой скорости кольца, при которой оно будет устойчиво вращаться вокруг спицы: \[\omega \geqslant \sqrt{\dfrac{g}{\mu r}\sqrt{1 + \mu^2}}.\]