Заряженный поршень над газом в изобарном процессе
6/10Вопрос. Как связаны между собой изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа и полученное им количество теплоты в изобарном процессе?
Задача. \(\nu=2\) моля одноатомного идеального газа находится в теплоизолирующем вертикальном цилиндре с подвижным поршнем площадью \(S\) и массой \(m\). Дно цилиндра равномерно заряжено зарядом \(q\), а поршень — зарядом \((-q)\). Расстояние между дном сосуда и поршнем намного меньше диаметра цилиндра. Газ медленно получает от нагревателя количество теплоты \(Q\). На какое расстояние при этом сдвинется поршень? Считайте, что электрическое поле остаётся однородным, трения нет. Диэлектрическая проницаемость газа равна единице, электрическая постоянная \(\varepsilon_0\), ускорение свободного падения \(g\), давление над поршнем равно \(p_0\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСила притяжения между пластинами от положения поршня не зависит, поэтому давление газа постоянно. Количество теплоты в изобарном процессе связано с работой газа соотношением \(Q=\tfrac52A\).
ОтветВопрос: \(Q=A+\Delta U=\dfrac53\,\Delta U\), где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии; Задача: \(\Delta h=\dfrac45\,\dfrac{\varepsilon_0QS}{2\varepsilon_0(p_0S^2+mgS)+q^2}\).
РешениеВопрос. Рассмотрим изменение объёма газа от \(V_1\) до \(V_2\). Изменение внутренней энергии при постоянном давлении \(p\), в соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона, \(\Delta U=\Delta\!\left(\dfrac32\nu RT\right)=\dfrac32\,\Delta(pV)=\dfrac32\,p(V_2-V_1)\). Работа газа в изобарном процессе равна \(A=p(V_2-V_1)=\dfrac23\,\Delta U\). Поэтому \(Q=A+\Delta U=\dfrac53\,\Delta U\).
Задача. Поскольку электрическое поле однородно, сила притяжения между поршнем и дном цилиндра не зависит от положения поршня: \(F_{\text{эл}}=|q_-|\,E_+=\dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}\). Поэтому давление \(p\) газа во время опыта постоянно (с учётом наружного атмосферного давления и веса поршня): \[p=p_0+\frac{mg+q^2/(2\varepsilon_0S)}{S}.\] Рассуждая аналогично тому, как это было сделано в вопросе, замечаем, что полученное газом количество теплоты связано с работой по перемещению поршня соотношением \(Q=\dfrac52A\ \Rightarrow\ pS\cdot\Delta h=\dfrac25\,Q\). Поэтому смещение поршня равно \[\Delta h=\frac45\,\frac{\varepsilon_0QS}{2\varepsilon_0(p_0S^2+mgS)+q^2}.\]
Похожие задачи
- Гелий в цилиндре с перегородкой и поршнем Физтех 2014/15, 11 кл.
- Теплообмен гелия через перегородку, поршень Физтех 2014/15, 10 кл.
- Гелий в процессе расширения «Покори Воробьёвы горы!» 2014/15, 10–11 кл.
- Пробка вылетает из колбы с гелием МОШ 2015/16, 10 кл.
- Газ: изохора и изотерма «Шаг в будущее» 2015/16, 11 кл.
- Робот на поршне в цилиндре с гелием «Шаг в будущее» 2016/17, 8 кл.