Уголок на шарнирном подвесе и гвоздь

Для вращения нужен момент силы, как минимум уравновешивающий момент силы тяжести кубика относительно ребра; минимальная сила соответствует максимальному плечу. Для уголка с гвоздём используйте правило моментов относительно шарнира и условие равновесия сил.

Вопрос. Ясно, что для придания вращения необходимо, чтобы момент внешней силы как минимум уравновесил момент силы тяжести, действующей на кубик. Момент силы тяжести относительно одного из нижних рёбер равен \(M_g=mg\dfrac{a}{2}\). Минимальная сила будет соответствовать максимальной величине плеча силы, которое равно \(l_{\max}=a\sqrt2\). Поэтому \[F_{\min}=\frac{M_g}{l_{\max}}=\frac{mg}{2\sqrt2}.\] При этом горизонтальная проекция силы будет равна \(F_{\parallel}=\dfrac{F_{\min}}{\sqrt2}=\dfrac{mg}{2}<\mu mg\), то есть кубик не будет скользить.

Задача. Из сил, приложенных к уголку, только сила реакции гвоздя и вес короткого плеча имеют ненулевые моменты относительно шарнира. Правило моментов (с учётом однородности уголка массы \(m\)): \[\frac{2m}{5}\,g\,\frac{a}{2}\sin\alpha-N\,\frac{3a}{4}=0\ \Rightarrow\ N=\frac{4mg}{25}.\] Здесь мы учли, что \(\sin\alpha=\dfrac35\). Из условия равновесия сил находим: \[\begin{cases} F_x=N\sin\alpha=\dfrac{12mg}{125},\\[2mm] F_y=mg+N\cos\alpha=\dfrac{141mg}{125}, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\frac{3\sqrt{89}}{25}\,mg.\]

Ясно, что до появления гвоздя сила реакции шарнира была равна \(mg\), поэтому из-за появления гвоздя эта сила увеличилась в \(\dfrac{3\sqrt{89}}{25}\approx1{,}13\) раза.