Изображение симметрично относительно фокуса

Для рассеивающей и собирающей линзы запишите формулу тонкой линзы для мнимого изображения, расстояния от предмета и изображения до линзы выразите через \(F\) и \(l\).

Вопрос. При выводе формул, описывающих тонкие линзы, используются два приближения: пренебрегают смещением световых лучей вдоль плоскости линзы по сравнению с её диаметром и считают малыми все углы между световыми лучами и главной оптической осью линзы (используются соотношения параксиального приближения \(\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\)). Смещение луча вдоль плоскости линзы по величине порядка геометрической толщины самой линзы, то есть она действительно должна быть «тонкой»: её толщина должна быть много меньше её диаметра. Это требование также можно переформулировать следующим образом: диаметр линзы должен быть много меньше радиусов кривизны ограничивающих её сферических поверхностей. Второе требование — то, что все рассматриваемые лучи должны быть параксиальными.

Задача. Прямые изображения предметов (светящиеся точки которых есть действительные источники для линзы) создают рассеивающие линзы (при любом расстоянии от предмета до линзы) и собирающие линзы (когда расстояние от предмета до линзы меньше её фокусного расстояния). В обоих случаях это изображение будет мнимым, то есть будет располагаться по одну сторону от линзы с предметом. Пусть \(a\) — расстояние от предмета до линзы, а \(b=-|b|\) — расстояние от линзы до мнимого изображения. Для рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна, а изображение находится ближе к линзе, чем предмет. Поэтому \(a=|F|+\dfrac{l}{2}\), а \(|b|=|F|-\dfrac{l}{2}\). Согласно формуле линзы \[\frac{1}{|F|+l/2}-\frac{1}{|F|-l/2}=-\frac{1}{|F|}\ \Rightarrow\ |F|^2-l|F|-\frac{l^2}{4}=0.\] Выбирая для \(|F|\) положительный корень уравнения, находим: \(|F|=\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx24{,}14\) см. Аналогично для собирающей линзы (мнимое изображение находится дальше от линзы, чем предмет: значения \(a=F-\dfrac{l}{2}\), а \(|b|=F+\dfrac{l}{2}\)) приходим к уравнению \(F^2-lF-\dfrac{l^2}{4}=0\), положительный корень которого снова \(F=\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx24{,}14\) см. Ответ также можно записать в общем виде \(F=\pm\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx\pm24{,}14\) см.