Жидкий азот под поршнем

На участке 1–2 пар насыщенный, и давление от объёма не зависит. Проверьте, что было бы при охлаждении 3–4, если бы пар оставался ненасыщенным, и сравните с данным в условии давлением. Массу всего азота найдёте по состоянию 3.

1) \(657\) мм рт. ст. (\(\approx8{,}8\cdot10^4\) Па) — давление насыщенного пара при \(T_2\);  2) \(m_{\text{ж}}\approx3\) г.

Что происходит. Пока в сосуде есть жидкость, пар над ней насыщенный, и его давление зависит только от температуры, а не от объёма: при растяжении объёма жидкость испаряется (участок 1–2, давление постоянно). В точке 2 жидкости больше нет, оставшийся пар ненасыщенный и ведёт себя как идеальный газ (участок 2–3, изотерма). Дальше сосуд охлаждают при постоянном объёме. Ключ к обеим вопросам: сравнить давление, которое дал бы идеальный газ при охлаждении, с данным в условии.

Обозначения. Объёмы по рисунку: \(V_1\approx0{,}2\) л, \(V_2\approx0{,}8\) л, \(V_3\approx1{,}0\) л. \(p_{\text{нас}}(T)\) — давление насыщенного пара. Давления переводим по \(p=\varrho gh\): \(1\) мм рт. ст. \(=13600\cdot9{,}8\cdot10^{-3}\approx133\) Па; \(R=8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

1. Что было бы при охлаждении 3–4 без конденсации. Пар в точке 3 ненасыщенный, идеальный газ. При охлаждении в закреплённом сосуде (закон Шарля: \(p/T=\text{const}\) при постоянных массе газа и объёме) \[p_4'=p_3\frac{T_2}{T_1}=686\cdot\frac{76}{78}\approx668\ \text{мм рт. ст.}\] Данное в условии давление \(657\) меньше этого. Значит, газ перестал быть идеальным ненасыщенным: пар стал насыщенным, и часть его сконденсировалась. Поэтому \(p_2=657\) мм рт. ст. — это давление насыщенного пара при \(T_2=76\) К, а в сосуде после охлаждения снова есть жидкость. Проверим, что она там есть (п. 3).

2. Давление после возврата поршня. При \(T_2\) в сосуде пар над жидкостью. Поршень медленно двигают в начальное положение, объём уменьшается от \(V_3\) до \(V_1\): пар сжимается, часть его конденсируется, но пока жидкость есть, пар насыщенный, и давление равно \(p_{\text{нас}}(T_2)\) и не меняется: \[p=657\ \text{мм рт. ст.}\approx\varrho gh=13600\cdot9{,}8\cdot0{,}657\approx8{,}8\cdot10^{4}\ \text{Па}.\] Обратите внимание: давление не вычисляется по закону Бойля — Бойль относится к ненасыщенному пару, а здесь пар всё время насыщенный.

3. Масса азота. Вся масса азота в точке 2 — пар (жидкость кончилась), и в точке 3 — та же масса. Уравнение Менделеева — Клапейрона для пара в точке 3 (\(p_3=686\) мм рт. ст. \(=9{,}14\cdot10^4\) Па, \(V_3=1{,}0\cdot10^{-3}\) м\(^3\), \(T_1=78\) К): \[m=\frac{p_3V_3M}{RT_1}=\frac{9{,}14\cdot10^4\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\cdot0{,}028}{8{,}31\cdot78}\approx3{,}95\cdot10^{-3}\ \text{кг}.\] Тут же найдём \(p_{\text{нас}}(T_1)\): на участке 2–3 изотерма, \(p_2V_2=p_3V_3\), откуда \(p_{\text{нас}}(T_1)=p_3V_3/V_2\approx858\) мм рт. ст. — согласуется с горизонтальным участком 1–2 на рисунке (\(\approx850\)).

Проверка того, что жидкость в точке 4 осталась: пар при \(T_2=76\) К, \(657\) мм рт. ст. \(=8{,}76\cdot10^4\) Па, \(V_3=1{,}0\cdot10^{-3}\) м\(^3\) содержит \(m_4=\dfrac{8{,}76\cdot10^4\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\cdot0{,}028}{8{,}31\cdot76}\approx3{,}88\cdot10^{-3}\) кг, а азота всего \(3{,}95\) г, значит, сконденсировалось \(\approx0{,}07\) г. Жидкость есть, и вывод п. 2 верен.

4. Масса жидкости вначале. В точке 1 пар насыщенный при тех же \(p_{\text{нас}}(T_1)\) и \(T_1\), но занимает объём \(V_1\) (объём самой жидкости — около \(4\) см\(^3\) против \(200\) см\(^3\) — не учитываем). При одинаковых давлении и температуре масса пара пропорциональна объёму, поэтому масса пара в точке 1 равна \(m\,V_1/V_2\). Остальное — жидкость: \[m_{\text{ж}}=m\left(1-\frac{V_1}{V_2}\right)=3{,}95\ \text{г}\cdot\left(1-\frac{0{,}2}{0{,}8}\right)\approx3{,}0\ \text{г}.\] Обратите внимание: объёмы \(V_1,V_2,V_3\) в этой задаче берутся с рисунка — при чтении графика ответ определён с точностью до десятков процентов.

Ответ. 1) давление равно давлению насыщенного пара при \(76\) К: \(657\) мм рт. ст.; 2) \(m_{\text{ж}}=\left(1-\dfrac{V_1}{V_2}\right)\dfrac{p_3V_3M}{RT_1}\approx3\) г.

Проверка. Размерность: \(pVM/(RT)\) — \(\dfrac{\text{Па}\cdot\text{м}^3\cdot\text{кг/моль}}{\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot\text{К}}=\) кг. Предел: при \(V_1\to V_2\) (почти весь азот в паре) \(m_{\text{ж}}\to0\); при \(V_1\to0\) вся масса азота была бы жидкостью. Смысл: сколько азота испарилось на участке 1–2, столько и было жидкости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.