Бесконечная цепочка резисторов

Отбросьте первое звено: оставшаяся цепочка — такая же, но все сопротивления в ней вдвое больше. Как это связано с её сопротивлением?

\(R_{AB}=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\,R\approx1{,}78\,R\).

Что происходит. Цепочка бесконечная, звенья отличаются только масштабом: каждое следующее в два раза «крупнее». Если отбросить первое звено, то оставшаяся цепочка начинается с резисторов \(2R\) и \(2R\) и устроена так же, как вся цепочка, но все сопротивления в ней вдвое больше. Сопротивление цепочки из резисторов пропорционально масштабу всех сопротивлений, поэтому остаток имеет сопротивление \(2X\), где \(X\) — сопротивление всей цепочки. Это даёт уравнение для \(X\).

Обозначения. \(X=R_{AB}\) — искомое сопротивление всей цепочки, \(2X\) — сопротивление остатка (после первого звена).

1. Эквивалентная схема. Первое звено: последовательно с входом стоит резистор \(R\), дальше узел, к которому параллельно подключены шунтирующий резистор \(R\) и остаток цепочки с сопротивлением \(2X\) (резисторы шунт и остаток соединены между теми же двумя узлами, потому что нижний провод общий).

2. Правила сложения. Последовательное соединение: сопротивления складываются; параллельное: складываются проводимости. Параллельно \(R\) и \(2X\): \[R_\parallel=\frac{R\cdot2X}{R+2X},\qquad X=R+\frac{2RX}{R+2X}.\]

3. Решаем. Умножаем на \(R+2X\): \((X-R)(R+2X)=2RX\), то есть \[2X^2-3RX-R^2=0\quad\Longrightarrow\quad X=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\,R .\] Сопротивление положительно, отрицательный корень отбрасываем.

Обратите внимание: остаток цепочки — не \(X\), а \(2X\): у него все сопротивления вдвое больше. Если взять \(X\), получится \(X=R+\dfrac{RX}{R+X}\), то есть \(X=\dfrac{1+\sqrt5}{2}R\), неверно.

Ответ. \(R_{AB}=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\,R\approx1{,}78\,R\).

Проверка. Второй способ — обрывать цепочку на \(n\) звеньях. Одно звено, остаток разомкнут: \(R+R=2R\). Два звена (хвост \(2R+2R\) даёт \(4R\) при \(R_\parallel=R\cdot4R/5R=0{,}8R\)): \(1{,}8R\). Три звена: хвост \(4R+4R\) даёт \(8R\), \(2R\parallel8R=1{,}6R\), \(2R+1{,}6R=3{,}6R\), \(R\parallel3{,}6R=0{,}78R\); всего \(1{,}78R\). Числа сходятся к \(1{,}78R\). Размерность: ответ пропорционален \(R\). Предельные оценки: \(R<X<2R\) — не меньше последовательного \(R\) и не больше значения при обрыве цепочки.

Смысл: бесконечность дала не бесконечное сопротивление, а конечное — ток уходит через ближайшие шунты, дальние звенья почти ничего не меняют.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.