Переполюсовка конденсатора

Гальванометр показывает средний ток: полный заряд, прошедший через него за секунду. Сравните время зарядки \(RC\) с промежутком между переключениями \(0{,}1\) с — от этого зависит, успевает ли конденсатор зарядиться.

\(I=2CU_0f=0{,}2\) мА; при \(C'=1000\) мкФ ток \(I'\approx U_0/R=10\) мА, то есть в \(50\) раз больше.

Что происходит. После каждого переключения полярность конденсатора относительно батарейки меняется на противоположную, и он перезаряжается через гальванометр. Стрелка не дрожит, значит, она показывает средний ток — заряд, прошедший через гальванометр за секунду. Всё решение — в сравнении двух времён: промежутка между переключениями \(T=1/f=0{,}1\) с и времени зарядки \(\tau=RC\).

Обозначения. \(f=10\) с\(^{-1}\) — число переключений в секунду, \(T=0{,}1\) с; \(u_C(t)\) — напряжение на конденсаторе в схеме (по отношению к батарейке: \(+U_0\) — «заряжен как батарейка», \(-U_0\) — навстречу ей).

Пункт 1. Малая ёмкость, \(C=1\) мкФ. Время зарядки \(\tau=RC=10^3\cdot10^{-6}=10^{-3}\) с \(\ll T=0{,}1\) с: между переключениями конденсатор успевает зарядиться полностью — до напряжения батарейки (остаток \(e^{-T/\tau}=e^{-100}\) ничтожен). Сразу после переключения напряжение на нём в схеме равно \(-U_0\), и до следующего переключения оно меняется от \(-U_0\) до \(+U_0\). Заряд на конденсаторе меняется на \(2CU_0\). Закон сохранения заряда: весь этот заряд приходит к обкладкам через гальванометр (других путей нет). За секунду — \(f\) переключений: \[I=2CU_0f=2\cdot10^{-6}\cdot10\cdot10=2\cdot10^{-4}\ \text{А}=0{,}2\ \text{мА}.\]

Обратите внимание: за одно переключение через гальванометр проходит заряд \(2CU_0\), а не \(CU_0\): напряжение на конденсаторе проходит весь путь от \(-U_0\) до \(+U_0\).

Пункт 2. Большая ёмкость, \(C'=1000\) мкФ. Теперь \(\tau'=RC'=1\) с \(\gg T=0{,}1\) с: за промежуток конденсатор заряжается лишь на малую долю. Напряжение на нём в схеме колеблется около нуля между \(-u_m\) и \(+u_m\) (\(u_m\ll U_0\)). Для цепи с \(R\) и \(U_0\) (второе правило Кирхгофа: \(U_0=IR+u_C\)) на промежутке \[u_C(t)=U_0-(U_0+u_m)\,e^{-t/\tau'},\qquad 0\le t\le T .\] В конце промежутка \(u_C=+u_m\), после переключения станет \(-u_m\) и всё повторится. Условие замкнутости: \(u_m=U_0-(U_0+u_m)\,e^{-T/\tau'}\), откуда \[u_m=U_0\,\frac{1-e^{-T/\tau'}}{1+e^{-T/\tau'}}=U_0\tanh\frac{T}{2\tau'}\approx U_0\,\frac{T}{2\tau'}=0{,}5\ \text{В}.\] Заряд за промежуток: \(\Delta q=C'\cdot2u_m\approx C'U_0\,\dfrac{T}{\tau'}=\dfrac{U_0T}{R}\). Средний ток \[I'=\frac{\Delta q}{T}\approx\frac{U_0}{R}=\frac{10}{10^3}=10\ \text{мА}.\] Проще: конденсатор большой, напряжение на нём \(\le0{,}5\) В, почти всё напряжение батарейки падает на сопротивлении, и ток почти равен \(U_0/R\).

Обратите внимание: считать, что и большой конденсатор успевает зарядиться, нельзя. Формула \(2C'U_0f=200\) мА дала бы ток в двадцать раз больше предельного \(U_0/R=10\) мА, который ограничен сопротивлением.

Ответ. \(I=2CU_0f=0{,}2\) мА; \(I'\approx U_0/R=10\) мА (точнее \(9{,}99\) мА), ток возрастёт в \(\dfrac{I'}{I}=\dfrac{1}{2RCf}=50\) раз.

Проверка. Обе ситуации описывает одна формула \(I=2CU_0f\tanh\dfrac{1}{2fRC}\). При малой \(C\) (\(\tanh\to1\)) — первый ответ; при большой (\(\tanh x\approx x\)) — \(U_0/R\). Для \(C=1\) мкФ: \(\tanh50=1\); для \(C'=1000\) мкФ: \(2\cdot10^{-3}\cdot10\cdot10\cdot\tanh0{,}05=9{,}99\) мА. Размерность: \(CU_0f\) — Кл/с.

Смысл: при малой ёмкости ток ограничивает размер заряда, который помещается на конденсатор, при большой — сопротивление цепи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.