Коробка с грузом на склоне

Пока груз скользит по гладкому дну, коробка стоит. При упругом ударе тел равной массы скорости обмениваются. Ударов бесконечно много, но смещение коробки можно найти сразу для всего процесса через изменение энергии.

\(S=\dfrac{L\sin\alpha}{2(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}\approx0{,}26\) м.

Что происходит. Груз скользит по гладкому дну коробки и коробку вдоль склона не тянет: он давит на неё только перпендикулярно дну. Коробка при этом стоит на месте. Упругий удар тел равной массы обменивает скорости: груз останавливается, коробка получает скорость груза и едет вниз, тормозясь трением о склон, останавливается, а оставшийся позади груз снова разгоняется и догоняет нижнюю стенку. Ударов бесконечно много, но все они укладываются в конечное смещение. Главная идея: не считать каждый цикл, а применить закон изменения механической энергии ко всему процессу от начала до полной остановки.

Обозначения. Масса коробки и груза \(M=m\); \(S\) — смещение коробки вниз по склону к концу; ось вдоль склона направлена вниз. Груз считаем точкой.

1. Коробка стоит, пока груз скользит. Груз давит на дно с силой \(mg\cos\alpha\), поэтому сила реакции склона на коробку \(N_1=(M+m)g\cos\alpha=2Mg\cos\alpha\), а наибольшая сила трения покоя \(\mu N_1=2\mu Mg\cos\alpha\). Вдоль склона на коробку действует только составляющая силы тяжести \(Mg\sin\alpha\). Покой возможен, если \[Mg\sin\alpha\le2\mu Mg\cos\alpha\quad\Longleftrightarrow\quad 0{,}5\le1{,}39 ,\] условие выполнено. Так же и до отклеивания: у пары условие покоя \(\tan\alpha\le\mu\), то есть \(0{,}58\le0{,}8\).

2. Первый удар. Груз проходит вдоль гладкого дна путь \(L\) с ускорением \(g\sin\alpha\) (второй закон Ньютона для груза в проекции на ось склона), поэтому перед ударом \(v^2=2g\sin\alpha\,L\). Удар упругий, короткий; за его время внешние силы (тяжесть, трение) импульса почти не меняют, поэтому для системы груз + коробка сохраняются импульс и кинетическая энергия. У двух тел равной массы, из которых одно стоит, это означает обмен скоростями: груз остановился, коробка поехала со скоростью \(v\).

3. Что дальше. Теперь на коробку действуют вдоль склона сила тяжести \(Mg\sin\alpha\) вниз и трение скольжения \(2\mu Mg\cos\alpha\) вверх, она тормозит с ускорением \[a_k=(2\mu\cos\alpha-\sin\alpha)\,g\approx0{,}89\,g .\] Груз, начавший с нуля, разгоняется с ускорением \(g\sin\alpha=0{,}5g\). За время торможения коробки \(t_1=v/a_k\) груз проходит \(\dfrac{g\sin\alpha\,t_1^2}{2}\), а коробка — \(\dfrac{v^2}{2a_k}\). Их отношение \(\dfrac{g\sin\alpha}{a_k}=0{,}56<1\): груз не догонит коробку, пока она едет; коробка остановится, и снова будет стоять по условию из п. 1. Груз докатится до нижней стенки, удар повторится, коробка получит новую (меньшую) скорость, и так без конца: каждый раз коробка стоит в момент удара, а груз в итоге оказывается у нижней стенки и останавливается вместе с ней.

4. Энергия всего процесса. Начало: всё неподвижно, груз у верхней стенки. Конец: всё неподвижно, груз у нижней стенки, коробка сместилась на \(S\) вниз, груз — на \(S+L\). Применим закон изменения механической энергии системы груз + коробка между этими состояниями: изменение энергии равно работе трения скольжения. Трение действует на коробку, когда она движется; его сила постоянна \(F=2\mu Mg\cos\alpha\) (груз давит на дно всё время), путь коробки в сумме равен \(S\) (она ни разу не едет назад). Удары упругие — потерь нет, на дне трения нет. Кинетическая энергия в начале и в конце нулевая, остаётся убыль потенциальной: \[Mg\sin\alpha\,S+mg\sin\alpha\,(S+L)=2\mu Mg\cos\alpha\,S .\] Отсюда \((2\mu\cos\alpha-2\sin\alpha)S=L\sin\alpha\): \[S=\frac{L\sin\alpha}{2(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)} .\] Обратите внимание: трение вычисляется по полному весу \((M+m)g\cos\alpha\): груз давит на дно коробки, хотя сам по дну не трётся. Если взять только \(Mg\cos\alpha\), коробка по расчёту вообще не остановилась бы (знаменатель стал бы отрицательным) — неверно.

Ответ. \(S=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}5}{2(0{,}8\cdot0{,}866-0{,}5)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}386}\approx0{,}26\) м.

Проверка. Второй способ — суммой ударов. Пусть \(k=\dfrac{\sin\alpha}{2\mu\cos\alpha-\sin\alpha}=0{,}56\). Перед первым ударом \(v^2=2g\sin\alpha L\), коробка проезжает \(s_1=\dfrac{v^2}{2a_k}\). Груз к следующему удару набирает \(u^2=2g\sin\alpha\,s_1=kv^2\), поэтому путь коробки после следующего удара в \(k\) раз меньше: \(s_2=ks_1\) и так далее. Сумма прогрессии \[S=\frac{s_1}{1-k}=\frac{L\sin\alpha}{2\mu\cos\alpha-\sin\alpha}\cdot\frac{2\mu\cos\alpha-\sin\alpha}{2(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)}=\frac{L\sin\alpha}{2(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)} ,\] то же самое. Размерность — длина. Предельный случай: при \(\mu\to\tan\alpha\) знаменатель стремится к нулю и \(S\to\infty\) — при таком трении пара коробка + груз едва держится, и коробка уезжает далеко.

Физический смысл: потенциальная энергия груза и коробки целиком уходит в тепло в трении коробки о склон; ответ говорит, как далеко она уедет, пока тепла выделится столько.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.