Цикл из изохор и изобар на $TV$-диаграмме

Процессы 1–2 и 3–4 на диаграмме — изохоры, 2–3 и 4–1 — изобары. Введите отношение температур \(x=T_2/T_1\) и выразите через него всё остальное.

Вопрос. Количество теплоты в процессе \[Q=\frac32\,R\Delta T+\frac52\,R\Delta T=4R\Delta T.\] Работа совершается газом только в изобарном процессе, в котором \(A=p\Delta V=\Delta(pV)=R\Delta T\). Значит, сообщённое газу во всём процессе количество теплоты больше совершённой им работы в 4 раза.

Задача. Нетрудно заметить, что процессы 1–2 и 3–4 — изохорные, а процессы 2–3 и 4–1 — изобарные (температура растёт пропорционально объёму). Таким образом, в координатах давление–объём диаграмма этого цикла имеет вид прямоугольника. Пусть \(T_2=xT_1\). Тогда, согласно условию, \(T_4=xT_2=x^2T_1\). Кроме того, \[\frac{T_3}{T_2}=\frac{V_3}{V_2}=\frac{V_4}{V_1}=\frac{T_4}{T_1}=x^2,\] и поэтому \(T_3=x^3T_1\). Работа в цикле есть сумма работ в изобарных процессах, для каждого из которых \(A=p\Delta V=\Delta(pV)=\nu R\Delta T\). Поэтому \[A=\nu R(T_3-T_2+T_1-T_4)=(x-1)^2(x+1)\,\nu RT_1.\] Теплота нагревателя есть сумма количеств теплоты, подведённых в процессах с повышением температуры (изохора 1–2 и изобара 2–3): \[Q=\frac32\nu R(T_2-T_1)+\frac52\nu R(T_3-T_2)=\frac12(x-1)(5x^2+5x+3)\,\nu RT_1.\] Следовательно, КПД цикла \[\eta=\frac{2(x^2-1)}{5x^2+5x+3}.\] Из этого соотношения можно найти \(x\): \((2-5\eta)x^2-5\eta x-2-3\eta=0\). Выбирая положительный корень, \[x=\frac{5\eta+\sqrt{16-16\eta-35\eta^2}}{2(2-5\eta)}\approx1{,}315.\] Следовательно, \(T_4=x^2T_1\approx432\) К.