Шайбы на стержне с пружиной

Пара верхних шайб колеблется как груз на пружине; при какой скорости начального толчка нижняя шайба начнёт отрываться от упора и при каком ускорении верхняя пара начнёт отрываться друг от друга?

Вопрос. В установившемся режиме мячик движется с ускорением \(\vec a\), создаваемым результирующей силой \(\vec F+m\vec g=m\vec a\), где \(\vec F\) — сила, действующая на мячик со стороны лифта. По третьему закону Ньютона искомая сила \(\vec F'=-\vec F=m(\vec g-\vec a)\). Поэтому величина этой силы \(F'=m\,|g-a|\), то есть она убывает от \(mg\) до нуля, когда ускорение растёт от нуля до значения \(g\), а затем линейно растёт с ростом \(a\). При \(a<g\) мячик покоится на полу лифта, а при \(a>g\) — на потолке.

Задача. Если в процессе движения верхние шайбы не будут отрываться друг от друга, а нижняя — от упора, то пара верхних шайб будет совершать гармонические колебания с частотой \(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{4m}}\). В состоянии покоя пружина сжата на величину \(\Delta l_0=-\dfrac{4mg}{k}\), и после смещения верхней пары шайб эта деформация увеличивается до \(\dfrac32\Delta l_0=-\dfrac{6mg}{k}\), и отклонение от положения равновесия составит \(x_0=\dfrac{2mg}{k}\). При старте с начальной скоростью \(v_0\) амплитуда возникших гармонических колебаний должна равняться \[x_m=\sqrt{x_0^2+\frac{4m}{k}v_0^2}=\sqrt{\frac{4m^2g^2}{k^2}+\frac{4m}{k}v_0^2}.\] Итак, максимальное растяжение пружины может равняться \(\sqrt{\dfrac{4m^2g^2}{k^2}+\dfrac{4m}{k}v_0^2}-\dfrac{4mg}{k}\), и нижняя шайба не отрывается от упора, если сила упругости растянутой пружины не превышает её веса: \[\sqrt{\frac{4m^2g^2}{k^2}+\frac{4m}{k}v_0^2}-\frac{4mg}{k}\le\frac{mg}{k}.\] Из этого ограничения видно, что \(v_0\le g\sqrt{\dfrac{21m}{4k}}\). Верхние шайбы не будут отрываться друг от друга, если им не придётся опускаться с ускорением больше \(g\). Амплитуда ускорения \(a_m=\omega^2x_m\), и поэтому это условие выполняется при \[\frac{k}{4m}\sqrt{\frac{4m^2g^2}{k^2}+\frac{4m}{k}v_0^2}\le g,\] откуда \(v_0\le g\sqrt{\dfrac{3m}{k}}\). Это ограничение является более жёстким, поэтому именно оно даёт ответ на вопрос задачи.