Шарик на нити и на стержне
3/10Маленький шарик, подвешенный на нити, может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси \(O\). Экспериментатор обнаружил, что наименьшая скорость, которую нужно сообщить шарику, чтобы он достиг верхней точки траектории (точки \(A\)), равна \(v_1\). Затем экспериментатор заменил нить лёгким стержнем той же длины, который может без трения вращаться вокруг оси \(O\). Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику теперь, чтобы он достиг точки \(A\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаНить не может толкать шарик, а стержень может. Какая скорость в верхней точке минимально возможна в каждом случае?
Ответ\(v_2 = \dfrac{2}{\sqrt5}\,v_1\).
РешениеЧтобы шарик, подвешенный на нити, достиг точки \(A\), нить должна быть в процессе движения натянута. Наименьшей скорости соответствует случай, когда в точке \(A\) нить не натянута и на шарик действует одна сила — сила тяжести. Запишем 2 закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось: \[mg = m\frac{v_A^2}{R}.\] Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{mv_1^2}{2} = 2mgR + \frac{mv_A^2}{2} \;\Longrightarrow\; v_1^2 = 5gR.\] В случае стержня сумма всех сил, действующих на шарик в точке \(A\), может быть равна нулю (шарик опирается на стержень). Скорость при этом в точке \(A\) будет равна нулю. Запишем закон сохранения энергии: \[\frac{mv_2^2}{2} = 2mgR \;\Longrightarrow\; v_2^2 = 4gR \;\Longrightarrow\; v_2 = \frac{2}{\sqrt5}\,v_1 .\]
Похожие задачи
- Бусинка на вертикальном кольце МОШ 2014/15, 10 кл.