Архимедова разминка

В пункте 1.1.1 разрежьте шар по диаметру и сравните силу давления на «срез» с силой Архимеда. В пункте 1.2 сравните силу тяжести стержня с силой Архимеда, учитывая, что плотность жидкости растёт линейно.

1.1.1. Рассчитать непосредственно силу давления воды на половину шара достаточно сложная математическая задача: давление зависит от глубины, направление силы давления также изменяется от точки к точке. Поэтому для расчёта искомой силы можно применить простой искусственный приём. Мысленно разрежем шар по диаметру и уберём нижнюю половину. После такой «операции» искомая сила давления на верхнюю половину поверхности шара \(\vec F\) не изменится. Но легко можно найти силу давления на «срез» шара: \[F_1 = PS = \rho g\,(4R - R)\cdot\pi R^2 = 3\pi R^3\rho g. \qquad (1)\]

Векторная сумма сил давления на верхнюю половину и на нижний «срез» равна силе Архимеда, действующей на половину шара, поэтому \[F_A = F_1 - F. \qquad (2)\] Из этого уравнения с учётом формулы для силы Архимеда находим: \[F = F_1 - F_A = 3\pi R^3\rho g - \frac{2}{3}\pi R^3\rho g = \frac{7}{3}\pi R^3\rho g. \qquad (3)\]

Задача 1.2. 1.2.1 – 1.2.2. Так как искомая зависимость плотности от глубины погружения является линейной, то она описывается формулой: \[\rho(z) = \rho_1 + \frac{\rho_2-\rho_1}{l}\,z. \qquad (1)\] Чтобы тело плавало, необходимо, чтобы сила Архимеда могла уравновесить силу тяжести. Сила тяжести, действующая на стержень, равна \[mg = \rho_0 lSg, \qquad (2)\] где \(S\) — площадь поперечного сечения стержня. Сила Архимеда равна силе тяжести, действующей на вытесненный объём воды. Так как плотность воды изменяется по линейному закону, то при расчёте массы столбика вытесненной воды можно использовать её среднюю плотность, равную среднему арифметическому плотностей на её краях, или равной ей плотности на середине столбика. Поэтому при погружении нижнего конца стержня на глубину \(z\) действующая на него сила Архимеда будет равна \[F_A = \frac{\rho_1+\rho(z)}{2}\,zSg = \left(\rho_1 + \frac{\rho_2-\rho_1}{2l}\,z\right)zSg. \qquad (3)\] Из условия плавания следует уравнение для определения глубины погружения: \[\rho_0 l = \left(\rho_1 + \frac{\rho_2-\rho_1}{2l}\,z\right)z. \qquad (4)\] Предельным случаем плавания является \(z = l\). Поэтому условием плавания является выполнение очевидного условия: \[\rho_0 l < \left(\rho_1 + \frac{\rho_2-\rho_1}{2l}\,l\right) l = \frac{\rho_2+\rho_1}{2}\,l. \qquad (5)\] Или \[\rho_0 < \frac{\rho_2+\rho_1}{2}. \qquad (6)\] Для определения глубины погружения необходимо решить уравнение (4), из которого следует, что \[z = l\,\frac{\sqrt{\rho_1^2 + 2\rho_0(\rho_2-\rho_1)} - \rho_1}{\rho_2-\rho_1}. \qquad (7)\] 1.2.3. Чтобы вертикальное плавание было устойчивым, необходимо, чтобы центр масс стержня находился глубже, чем центр масс вытесненного столбика воды. При полном погружении стержня его центр масс погружается на глубину \(\dfrac{l}{2}\). Чтобы центр масс вытесненной воды находился выше этой точки, необходимо, чтобы плотность жидкости у поверхности была больше, чем плотность жидкости у дна, т.е. \[\rho_2 < \rho_1. \qquad (8)\] В этом случае жидкость в поле тяжести станет неустойчивой, начнётся её перемешивание, поэтому реализовать такой эксперимент нельзя.