Электромобиль

Энергия источника расходуется на тепло в резисторе и на работу против сопротивления воздуха, а в установившемся режиме сила тяги уравновешивает сопротивление воздуха. Для пункта 1.1 удобно записать уравнения для двух крайних режимов: застопоренного двигателя и максимальной скорости.

Часть 1. 1.1. Запишем уравнения, описывающие движение электромобиля в установившемся режиме.

Первое. При движении с постоянной скоростью сила тяги, развиваемая двигателем, точно уравновешивает силу сопротивления воздуха, поэтому \[kI = \beta v^2. \qquad (1)\] Второе. Так как при работе двигателя в его обмотке возникает неизвестная (или трудно рассчитываемая) ЭДС самоиндукции, то использовать закон Ома для определения силы тока в цепи невозможно. Поэтому вместо этого закона следует воспользоваться законом сохранения энергии: энергия, выдаваемая источником тока \(U_0 I\), расходуется на теплоту, выделяющуюся на резисторе \(I^2R\), и на работу по преодолению сил сопротивления \(F_c v = \beta v^3\), следовательно: \[U_0 I = I^2 R + \beta v^3. \qquad (2)\] Для того чтобы получить систему уравнений в «безразмерном» виде, перепишем уравнения (1) – (2) для двух крайних случаев, описанных в условии задачи. При застопоренном двигателе скорость автомобиля равна нулю. В этом случае сила тока будет минимальна при максимальном сопротивлении резистора. Поэтому \[I_1 = \frac{U_0}{R_{\max}} \quad\Rightarrow\quad R_{\max} = \frac{U_0}{I_1}. \qquad (3)\] Скорость электромобиля будет максимальна при нулевом сопротивлении резистора, в этом случае \[U_0 I_0 = \beta v_{\max}^3, \qquad kI_0 = \beta v_{\max}^2. \qquad (4)\] Выразим значения сопротивления резистора, скорости электромобиля и силы тока в цепи через указанные в условии безразмерные параметры: \[R = xR_{\max}, \qquad v = yv_{\max}, \qquad I = zI_0 \qquad (5)\] и подставим их в исходные уравнения. Тогда из уравнения (1) следует \[kI = \beta v^2 \quad\Rightarrow\quad kI_0 z = \beta v_{\max}^2 y^2. \qquad (6)\] Тогда с учётом (4) получим \[z = y^2. \qquad (7)\] Подстановка (5) в уравнение (2) даёт \[U_0 I = I^2 R + \beta v^3 \quad\Rightarrow\quad U_0 I_0 z = I_0^2 R_{\max} z^2 x + \beta v_{\max}^3 y^3 \quad\Rightarrow\quad U_0 I_0 z = I_0^2\,\frac{U_0}{I_1}\,z^2 x + \beta v_{\max}^3 y^3.\] При учёте соотношения (4) получаем окончательно \[z = \frac{I_0}{I_1}\,z^2 x + y^3 \quad\Rightarrow\quad z^2 x + \gamma y^3 - \gamma z = 0. \qquad (8)\] Таким образом, уравнения (7) и (8) образуют искомую систему для расчёта требуемых зависимостей.

1.2. Найти решение полученной системы довольно просто. Подставим значение \(z\) из уравнения (7) в уравнение (8): \[y^4 x + \gamma y^3 - \gamma y^2 = 0. \qquad (9)\] После сокращения получаем квадратное уравнение: \[y^2 x + \gamma y - \gamma = 0. \qquad (10)\] Положительный корень, который равен: \[y(x) = \frac{\sqrt{\gamma^2 + 4\gamma x} - \gamma}{2x}. \qquad (11)\] Заметим, что при \(x \to 0\) \(y \to 1\).

1.3. Зависимость \(z(x)\) следует из уравнения (7): \[z(x) = y^2 = \left(\frac{\sqrt{\gamma^2 + 4\gamma x} - \gamma}{2x}\right)^2. \qquad (12)\]

1.4. В данном случае под КПД следует понимать отношение мощности двигателя к мощности, развиваемой источником тока, поэтому \[\eta = \frac{\beta v^3}{U_0 I} = \frac{\beta v_{\max}^3 y^3}{U_0 I_0 z} = \frac{y^3}{z} = y. \qquad (13)\] 1.5. Необходимые расчёты по полученным формулам приведены в таблице, по которой построены требуемые графики.

Часть 2.

2.1. При появлении постоянной силы трения качения исходные уравнения преобразуются следующим очевидным образом: \[kI = F_{\text{тр.}} + \beta v^2. \qquad (14)\] \[U_0 I = I^2 R + F_{\text{тр.}}\,v + \beta v^3. \qquad (15)\] Учитывая, что по условию \(F_{\text{тр.}} = \varepsilon\beta v_{\max}^2\), и проведя аналогичный переход к безразмерным уравнениям, получим следующую систему уравнений: \[z = \varepsilon + y^2, \qquad z = \frac{1}{\gamma}\,z^2 x + \varepsilon y + y^3. \qquad (16)\] Когда электромобиль только начинает двигаться, его скорость ещё равна нулю, поэтому \(y = 0\). Тогда из системы уравнений (16) легко найти: \[\begin{cases} z = \varepsilon \\ z = \dfrac{1}{\gamma}\,z^2 x \end{cases} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\gamma}{\varepsilon} = 20. \qquad (17)\] Найденное значение больше максимального значения сопротивления резистора. Поэтому электромобиль сдвинется при любом возможном значении сопротивления резистора.

2.2. Как и ранее, максимальная скорость автомобиля будет достигаться при нулевом сопротивлении переменного резистора, т.е. при \(x = 0\). В этом случае система (16) преобразуется к виду: \[\begin{cases} z = \varepsilon + y^2 \\ z = \varepsilon y + y^3 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon + y^2 = \varepsilon y + y^3 \quad\Rightarrow\quad y = 1. \qquad (18)\] То есть максимальная скорость движения электромобиля при появлении силы трения качения не изменится.