Задачи › Закон Кулона

Бусинка между двумя зарядами

  1. Бусинка между двумя зарядами

    ВсОШ 2025/26, 10 кл.
    5/10

    На непроводящей спице на расстоянии \(l\) друг от друга закреплены два положительных точечных заряда величиной \(q_1 = 4q\) и \(q_2 = q\). Между ними на спице располагается маленькая бусинка, также заряженная положительным зарядом \(q\). Бусинка может перемещаться вдоль спицы без трения.

    1. Пусть \(l = 30\) см. Определите расстояние от бусинки до заряда \(q_2\), на котором она будет находиться в положении устойчивого равновесия. Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.

    2. В начальный момент времени бусинку удерживают посередине между зарядами. Затем бусинку освобождают. Как меняется модуль ускорения бусинки в процессе её последующего движения от начального положения до точки максимального сближения с зарядом \(q_2\)? Варианты: монотонно уменьшается; монотонно увеличивается; сначала увеличивается, затем уменьшается; сначала уменьшается, затем увеличивается.

    3. Пусть \(l = 30\) см. В начальный момент времени бусинку удерживают посередине между зарядами. Бусинку освобождают. На какое минимальное расстояние бусинка приблизится к заряду \(q_2\) в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.

    4. На какое максимальное расстояние от заряда \(q_2\) будет удаляться бусинка в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.

    5. На каком расстоянии от заряда \(q_2\) бусинка будет иметь максимальную скорость в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В положении равновесия результирующая сила на бусинку равна нулю. Энергетически удобно приравнять потенциалы поля зарядов \(q_1\) и \(q_2\) в точке старта и в точке остановки.

    Ответ

    1) \(10{,}0\) см;  2) сначала уменьшается, затем увеличивается;  3) \(6{,}0\) см;  4) \(15{,}0\) см;  5) \(10{,}0\) см (в точке равновесия).

    Решение

    11) Пусть \(x\) — расстояние от точки равновесия до заряда \(q_2\), \(l - x\) — до заряда \(q_1\). Условие равновесия заряда \(q\): \[\frac{kqq_2}{x^2} = \frac{kqq_1}{(l-x)^2}, \qquad \frac{l - x}{x} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} = 2, \qquad x = \frac{l}{\sqrt{N} + 1} = 10~\text{см},\] где \(N = 4\).

    12) Чем дальше от точки равновесия, тем больше отличие сил со стороны зарядов \(q_1\) и \(q_2\). Результирующая сила и ускорение минимальны (равны нулю) в точке равновесия. Поэтому модуль ускорения сначала уменьшается до нуля, затем увеличивается.

    13) Потенциальная энергия бусинки в начальной точке (середина отрезка) и в точке остановки на минимальном расстоянии \(y\) от \(q_2\) одинакова: \[\frac{kq_1}{l/2} + \frac{kq_2}{l/2} = \frac{kq_1}{l-y} + \frac{kq_2}{y}.\] Решая квадратное уравнение \(2(N+1)^2 - (N+3)\,l\,y + l^2 = 0\) относительно \(y\), получаем корень \(y = \dfrac{l}{N+1} = 6\) см (второй корень \(y = l/2\) соответствует начальному положению).

    14) Максимальное удаление от \(q_2\) соответствует начальной точке, середине отрезка: \(\dfrac{l}{2} = 15\) см.

    15) Максимальная скорость достигается в точке равновесия, поэтому ответ совпадает с ответом на вопрос о положении точки равновесия: \(\dfrac{l}{\sqrt{N}+1} = 10\) см от заряда \(q_2\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх