Задачи › Циклы, работа в цикле

Цикл с участками P ~ V

  1. Цикл с участками P ~ V

    ВсОШ 2025/26, 10 кл.
    4/10

    Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1 (см. рис.). Точки 1, 2, 3 и 4 не указаны на диаграммах намеренно.

    Рисунок

    1. Охарактеризуйте процессы для отдельных участков этого цикла: участок 1–2; участок 2–3; участок 3–4; участок 4–1. Варианты: изобарный; изохорный; изотермический; адиабатический; не относится к изопроцессам. В задании используются не все варианты.

    2. Выберите диаграммы в координатах \(P(T)\) и \(V(T)\), соответствующие процессу 1–2–3–4–1 в координатах \(P(V)\).

      Рисунок

      Диаграммы обозначены буквами А, Б, В, Г, Д, Е.

    3. Пусть максимальный объём в процессе в 2 раза больше минимального, а отношение давлений в точках 1 и 4 равно 3. Определите отношение максимальной температуры, выраженной в градусах Кельвина, в данном процессе к минимальной. Ответ округлите до десятых.

    4. Пусть давление в точке 3 в 2 раза больше давления в точке 4, а температуры в точках 1 и 3 равны. Во сколько раз давление в точке 2 больше давления в точке 3? Ответ округлите до десятых.

    5. Давления в точках 2 и 1 относятся как 2 : 1. Известно, что на участке 4–1 к газу было подведено 25 Дж теплоты. Какое количество теплоты отвели от газа на участке 2–3? Ответ выразите в джоулях, округлите до целых.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Участки 1–2 и 3–4 на диаграмме \(P(V)\) проходят через начало координат, то есть \(P \propto V\). Для остальных вопросов используйте уравнение состояния \(PV = RT\).

    Ответ

    1) 1–2: не относится к изопроцессам; 2–3: изохорный; 3–4: не относится к изопроцессам; 4–1: изохорный;  2) В, Д;  3) \(12{,}0\);  4) \(4{,}0\);  5) засчитывается в диапазоне \([99;\ 101]\) Дж.

    Решение

    6) На участках 2–3 и 4–1 объём газа постоянен, процесс изохорный. На участках 1–2 и 3–4 имеет место прямо пропорциональная зависимость \(P(V)\), которая не соответствует ни одному из изопроцессов.

    7) На участках 1–2 и 3–4 давление и объём связаны соотношением \(P = kV\), где \(k\) различен для этих участков. Из уравнения состояния \(PV = RT\) получаем \(kV^2 = RT\), откуда \(V = \sqrt{RT/k}\); аналогично \(P = \sqrt{kRT}\). С учётом этого выбираем правильные рисунки В и Д.

    8) Температура газа пропорциональна произведению \(PV\), поэтому \[\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{P_2V_2}{P_4V_4} = n^2 k = 12,\] где \(n = 2\), \(k = 3\).

    9) По условию \(P_3 = qP_4\) и \(V_3 = qV_4 = qV_1\) при \(q = 2\). Из равенства температур в точках 1 и 3 следует \(P_1V_1 = P_3V_3\), откуда \(\dfrac{P_1}{P_4} = q^2 = 4\). Поскольку \(\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{P_3}{P_4}\), получаем \(\dfrac{P_2}{P_3} = \dfrac{P_1}{P_4} = 4\).

    10) Из пропорциональности давления и объёма на участках 1–2 и 3–4 следует \(s = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{V_3}{V_4} = \dfrac{P_2}{P_1} = 2\). Тогда \(\dfrac{T_2}{T_1} = s^2\) и \(\dfrac{T_3}{T_4} = s^2\). Количество теплоты на изохоре 4–1: \(Q = \dfrac{3}{2}R(T_1 - T_4) = 25\) Дж. Для участка 2–3 получаем \(Q_{23} = \dfrac{3}{2}R(T_2 - T_3) = s^2 Q = 100\) Дж.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх