Задачи › Баллистика с отражениями, упругие отскоки

Выстрел из пушки и отскок от плоскости

  1. Выстрел из пушки и отскок от плоскости

    ВсОШ 2025/26, 10 кл.
    5/10

    Из игрушечной пушки выстрелили маленьким тяжёлым шариком так, что он вылетел из ствола со скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Пролетев некоторое расстояние \(S\), шарик абсолютно упруго ударился о плоскость, наклонённую к горизонту под углом \(\beta\). Отскочив от плоскости и пролетев по траектории, не совпадающей с траекторией полёта из пушки до удара о плоскость, шарик упал рядом с местом выстрела. Точки выстрела и соударения с плоскостью находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

    Рисунок

    Угол выстрела \(\alpha\) монотонно увеличивается от \(15^\circ\) до \(75^\circ\). Установите соответствие между параметрами и характером их изменения.

    1. Соотнесите параметры и характер их изменения: время полёта шарика до удара о плоскость; максимальная высота траектории при полёте от места выстрела до удара о плоскость; расстояние от точки выстрела до места удара о плоскость. Варианты характера изменения: монотонно увеличивается; монотонно уменьшается; сначала уменьшается, затем увеличивается; сначала увеличивается, затем уменьшается. В задании используются не все варианты ответа.

    2. Угол выстрела \(\alpha = 40^\circ\). Под каким углом к горизонту подлетит шарик к месту выстрела после отскока от плоскости? Ответ выразите в градусах, округлите до целых.

    3. Угол выстрела \(\alpha = 40^\circ\). Под каким углом \(\beta\) к горизонту должна быть расположена наклонная плоскость, чтобы после отскока шарик прилетел к месту выстрела? Запишите значение острого угла. Ответ выразите в градусах, округлите до целых.

    4. Скорость \(v_0\), с которой вылетает шарик из пушки, составляет 10 м/с. Определите максимальное расстояние по горизонтали, которое может пролететь при такой скорости шарик. Ответ выразите в метрах, округлите до целых.

    5. Скорость, с которой вылетает шарик из пушки, \(v_0 = 10\) м/с, угол выстрела \(\alpha = 30^\circ\). Определите расстояние между вершинами парабол, являющихся траекториями шарика при движении от пушки к плоскости и обратно. Ответ выразите в метрах, округлите до десятых.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) время полёта — монотонно увеличивается; высота — монотонно увеличивается; расстояние — сначала увеличивается, затем уменьшается;  2) \(50^\circ\);  3) \(45^\circ\);  4) \(10\) м;  5) засчитывается в диапазоне \([2{,}4;\ 2{,}6]\) м.

    Решение

    1) При увеличении угла вертикальная проекция скорости \(v_y = v_0\sin\alpha\) монотонно увеличивается. Время полёта \(t = \dfrac{2v_y}{g}\) тоже монотонно возрастает. Дальность полёта \(l = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\) сначала увеличивается, достигая максимума при \(\alpha = 45^\circ\), затем уменьшается. Максимальная высота \(h = \dfrac{v_y^2}{2g}\) монотонно возрастает вместе с \(v_y\).

    2) Дальность полёта одинакова при углах \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\), так как \(\sin 2\alpha\) принимает одинаковые значения при углах, сумма которых равна \(90^\circ\). При \(\alpha = 40^\circ\) обратная траектория имеет угол \(90^\circ - \alpha = 50^\circ\).

    3) Чтобы после удара о наклонную плоскость шарик отскочил от неё под углом \(90^\circ - \alpha\), перпендикуляр к плоскости (и сама плоскость) должны быть наклонены к горизонту под углом \(\beta = 45^\circ\).

    4) Максимальная дальность \(l_{max} = \dfrac{v_0^2}{g} = 10\) м достигается при \(\alpha = 45^\circ\).

    5) Высоты парабол: \(h_1 = \dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}\) и \(h_2 = \dfrac{(v_0\cos\alpha)^2}{2g}\). Расстояние между вершинами \[\Delta h = \frac{v_0^2\,|\cos 2\alpha|}{2g} = 2{,}5~\text{м}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх