Пинг-понг

Высота каждого следующего подскока в \(k\) раз меньше, а время полёта между ударами пропорционально корню из высоты, так что времена образуют геометрическую прогрессию.

\(t=\dfrac{\sqrt k+1}{\sqrt k-1}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\).

Пусть после \(i\)-го удара мяч поднимается между двумя последовательными ударами на высоту \(h_i\). Время между этими ударами \(t_i\) найдём из \[h_i=g\left(\frac{t_i}{2}\right)^2\Big/2 \quad\Longrightarrow\quad t_i=2\sqrt{\frac{2h_i}{g}}.\] В верхней точке каждого полёта скорость мяча и его кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия \(E_i\) потенциальна. Если масса мяча \(m\), то \(E_i=mgh_i\) пропорциональна высоте верхней точки \(h_i\). Значит, и высота верхней точки уменьшается после каждого удара в \(k\) раз: \(h_{i+1}=h_i/k\). Очевидно, в этом соотношении \(h_0=h\).

Время падения до первого удара: \[t_0=\sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Так получаем полное время: \[\begin{gather*} t=t_0+t_1+t_2+\dots=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{gk}}+2\sqrt{\frac{2h}{gk^2}}+2\sqrt{\frac{2h}{gk^3}}+\dots=\\ =\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{gk}}\left[1+\left(\frac1{\sqrt k}\right)^1+\left(\frac1{\sqrt k}\right)^2+\left(\frac1{\sqrt k}\right)^3+\dots\right]=\\ =\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{gk}}\cdot\frac{1}{1-\frac1{\sqrt k}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{2h}{g}}\cdot\frac{1}{\sqrt k-1}=\\ =\sqrt{\frac{2h}{g}}\left(1+\frac{2}{\sqrt k-1}\right)=\frac{\sqrt k+1}{\sqrt k-1}\sqrt{\frac{2h}{g}}. \end{gather*}\] (Мы воспользовались формулой суммы геометрической прогрессии.)

Ответ: \(t=\dfrac{\sqrt k+1}{\sqrt k-1}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.