Стержень

Из равенства нулю суммы сил и моментов выразите силу трения и нормальную реакцию пола, а затем потребуйте \(F_h\le\mu N_p\) и \(N_p\ge0\); расстояние от нижнего конца до точки касания цилиндра найдите из подобных треугольников.

\(\dfrac{r\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\le l\le\dfrac{2\mu r}{(1+\mu\cot\alpha)(1-\cos\alpha)\cos\alpha}\).

На стержень действуют реакции опор пола и цилиндра (соответственно \(\vec N_p\) и \(\vec N_s\)), сила трения \(\vec F_h\) и сила тяжести \(m\vec g\) (см. рисунок 1). Положение устойчиво, если сила трения, выражаемая из условий равновесия сил и моментов сил, не превосходит максимальной силы трения покоя: \[F_h\le\mu N_p \tag{1}\] и нижний конец стержня не поднимается в воздух: \[N_p\ge0. \tag{2}\] (Здесь и далее можно с тем же успехом использовать строгие неравенства, так как точная граница скольжения реально недостижима.)

Рис. 1. К решению.

Равновесие сил в горизонтальном направлении: \[F_h=N_s\sin\alpha \tag{3}\] и вдоль стержня (при желании можно было выбрать и другое направление): \[N_p\sin\alpha+F_h\cos\alpha=mg\sin\alpha. \tag{4}\] Пусть \(d\) — расстояние от нижнего конца стержня до точки опоры. Равновесие моментов относительно нижнего конца стержня (опять же можно использовать и другие точки): \[mg\frac l2\cos\alpha=N_s d. \tag{5}\] Выразим силы и подставим в неравенства: \[\begin{align} (5),(3)&\Longrightarrow F_h=\frac{mgl}{2d}\sin\alpha\cos\alpha,\\ (6)\to(4)&\Longrightarrow N_p=mg\left(1-\frac l{2d}\cos^2\alpha\right),\\ (6),(7)\to(1)&\Longrightarrow\frac l{2\mu d}\sin\alpha\cos\alpha\le1-\frac l{2d}\cos^2\alpha\Longrightarrow\nonumber\\ &\Longrightarrow l\le\frac{2\mu d}{\cos\alpha\,(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)},\\ (7)\to(2)&\Longrightarrow1-\frac l{2d}\cos^2\alpha\ge0\Longrightarrow\nonumber\\ &\Longrightarrow l\le\frac{2d}{\cos^2\alpha}=\frac{2\mu d}{\mu\cos^2\alpha}. \end{align}\] (9) слабее неравенства (8), которое, таким образом, является верхней границей для \(l\) (в знаменателе справа в нём одно положительное слагаемое, \(\sin\alpha\), сверху). Так как более строгой нижней границы нет, ею остаётся \(d\).

Для нахождения \(d\) соединим нижний конец стержня с осью цилиндра (рисунок 2). Получаются два равных треугольника, из которых \[d=\frac r{\tan\frac\alpha2}=\frac{r\sin\alpha}{1-\cos\alpha}. \tag{7}\]

Рис. 2. Нахождение \(d\).

\((10)\to(8)\Longrightarrow\) \[l\le\frac{2\mu r}{(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\cos\alpha\tan\frac\alpha2}=\frac{2\mu r}{(1+\mu\cot\alpha)(1-\cos\alpha)\cos\alpha}.\] Ответ: \[\frac{r\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\le l\le\frac{2\mu r}{(1+\mu\cot\alpha)(1-\cos\alpha)\cos\alpha}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.