Переправа

Запишите, как за малое время меняются расстояние \(r = BC\) и координата \(y\) поперёк реки: из них складывается величина, которая не меняется. Ускорение лодки относительно берега — это только поворот вектора её скорости относительно воды.

Рассмотрим случай, когда лодка начинает движение по течению реки. Введём систему координат с началом в пункте \(A\), ось \(x\) направим вдоль скорости течения, а ось \(y\) направим к пункту \(B\). Пусть \(r\) — расстояние от точки \(B\) до центра лодки, \(\angle ABC = \alpha\). Тогда для движения «по течению» элементарные приращения за малое время \(\mathrm{d}t\):

\[\mathrm{d}r = u\sin\alpha\,\mathrm{d}t, \tag{1}\] \[\mathrm{d}x = 2u\cos\alpha\,\mathrm{d}t + u\,\mathrm{d}t, \tag{2}\] \[\mathrm{d}y = 2u\sin\alpha\,\mathrm{d}t. \tag{3}\] В любой момент времени до достижения лодкой противоположного берега \(0 \leqslant \alpha \leqslant \pi/2\), поэтому \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2u\cos\alpha + u \geqslant u > 0\). Поэтому скорость относительно берега не может быть направлена перпендикулярно линии берега. Отсюда делаем вывод, что лодка начала движение из пункта \(A\) против течения.

Итак, лодка начинает движение против течения реки. Введём также систему координат с началом в пункте \(A\), ось \(x\) направим вдоль скорости течения, а ось \(y\) направим к пункту \(B\), \(r\) — расстояние от точки \(B\) до центра лодки, \(\angle ABC = \alpha\). Тогда для движения «против течения» элементарные приращения за малое время \(\mathrm{d}t\):

\[\mathrm{d}r = -u\sin\alpha\,\mathrm{d}t, \tag{4}\] \[\mathrm{d}x = -2u\cos\alpha\,\mathrm{d}t + u\,\mathrm{d}t, \tag{5}\] \[\mathrm{d}y = 2u\sin\alpha\,\mathrm{d}t. \tag{6}\] При движении перпендикулярно линии берега \(\mathrm{d}x = 0\), тогда из уравнения (5) следует \(-2u\cos\alpha + u = 0 \implies \cos\alpha = 1/2 \implies \alpha = 60^\circ = \pi/3\).

Умножая уравнение (4) на 2 и складывая с уравнением (6), получим \[2\,\mathrm{d}r + \mathrm{d}y = 0 \implies 2r + y = \mathrm{const}.\] Вычислим эту константу в момент начала движения (\(r_A = l\), \(y_A = 0\)), откуда \(r(y) = l - y/2\). В момент достижения противоположного берега \[y_B = l \implies r_B = l/2.\]

В момент времени \(t_1\) из геометрических соображений можно записать, что \(r\cos\alpha = l - y\). Подставляя зависимость \(r(y)\) и значение угла \(\alpha\) в этот момент времени, получаем уравнение: \[\frac12(l - y_1/2) = l - y_1 \implies y_1 = \frac23 l \implies r_1 = \frac23 l.\]

Для нахождения радиуса кривизны траектории найдём скорость и ускорение в нужных точках. Скорость относительно берега равна сумме скорости воды \(\vec u\) в реке и скорости лодки \(\vec u_\text{л}\) относительно воды: \(\vec v = \vec u + \vec u_\text{л}\). После возведения в квадрат получаем: \(v = \sqrt{\vec u^{\,2} + \vec u_\text{л}^{\,2} + 2(\vec u\cdot\vec u_\text{л})} = \sqrt{u^2 + 4u^2 + 4u^2\cos\angle(\vec u, \vec u_\text{л})} = u\sqrt{5 + 4\cos\angle(\vec u, \vec u_\text{л})}\). Для точки старта \(\angle(\vec u, \vec u_\text{л}) = \pi\), тогда скорость равна \(v_A = u\). Для момента времени \(t_1\) угол между скоростями \(\angle(\vec u, \vec u_\text{л}) = \pi - \alpha\), тогда скорость равна \(v_1 = u\sqrt3\).

Скорость лодки равна векторной сумме скоростей течения воды и лодки относительно воды. Скорость течения не меняется ни по модулю, ни по направлению. Скорость лодки не меняется по модулю, но меняется по направлению. Производная вектора скорости лодки по модулю равна произведению угловой скорости вращения вектора \(\vec u_\text{л}\) на модуль этого вектора. Получим выражение для ускорения лодки: \[\vec a_\text{абс} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec u + \vec u_\text{л}) = \frac{\mathrm{d}\vec u}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec u_\text{л}}{\mathrm{d}t} = \vec a_\text{л},\] \[|\vec a_\text{л}| = 2u\cdot\omega_\alpha = 2u\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}.\] Для нахождения производной угла \(\alpha\) надо компоненту скорости, перпендикулярную отрезку \(BC\), поделить на расстояние \(r\): \[v_\perp = 2u - u\cos\alpha,\] \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \omega_\alpha = \frac{2u - u\cos\alpha}{r}.\] В момент выхода из пункта \(A\) угол \(\alpha = 0\), поэтому: \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{u}{l} \implies a_A = \frac{2u^2}{l}.\] В момент времени \(t_1\) угол \(\alpha = \pi/3\), значит: \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{3u/2}{2l/3} = \frac{9u}{4l} \implies a_1 = \frac{9u^2}{2l}.\] В пункте отправления скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому найти радиус кривизны траектории можно следующим образом: \[R_A = \frac{v_A^2}{a_A} = \frac{l}{2}.\] Для момента времени \(t_1\) найдём проекцию ускорения на перпендикуляр к скорости движения, т. е. на ось \(Ox\): \(a_{1x} = a_1\sin\alpha = \dfrac{9u^2\sqrt3}{4l}\), тогда радиус кривизны траектории в этой точке: \[R_1 = \frac{v_1^2}{a_{1x}} = \frac{4\sqrt3\,l}{9}.\]