Резиновая петля на плёнке

Выделите мысленно сектор окружности с малым углом \(2\alpha\) и запишите условие равновесия для его граничного участка: с одной стороны — натяжение резины, с другой — сила плёнки, действующая по дуге.

Вырежем сектор, опирающийся на угол \(2\alpha\), и приложим силы, действующие на участок кольца: натяжения \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) резины и силу \(\vec F_{\text{н}}\) со стороны плёнки. Условие равновесия \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec F_{\text{н}} = 0\). По оси \(x\): \(T_1 = T_2 = T_{12}\). По оси \(y\): \(F_{\text{н}} = 2T_{12}\sin\alpha \approx 2T_{12}\alpha\) (угол мал).

Плёнка двусторонняя, длина дуги сектора \(\Delta l = 2\alpha R\), поэтому \[F_{\text{н}} = 2\sigma\,\Delta l = 4\sigma\alpha R.\] По закону Гука для резины, растянутой с длины \(L_0\) до \(2\pi R\): \[T_{12} = ES\,\frac{2\pi R - L_0}{L_0}.\] Приравниваем: \[4\sigma\alpha R = 2\alpha\,\frac{ES(2\pi R - L_0)}{L_0} \quad\Rightarrow\quad 2\sigma R L_0 = 2\pi R E S - L_0 E S,\] откуда \[R = \frac{L_0 E S}{2\pi E S - 2\sigma L_0}.\]