Поршень с пружиной

Найдите, как давление газа связано с объёмом, когда поршень движется (силу пружины запишите через смещение поршня). Затем примените первый закон термодинамики к процессу, в котором сначала газ нагревается при постоянном объёме, а потом поршень поднимается.

Условие равновесия поршня: \(pS = kx\), где \(x\) — высота поршня. Домножим на \(S\): \(pS^2 = kxS = kV\), т.е. \(p = \dfrac{k}{S^2}V\) — линейная зависимость давления от объёма (прямая на диаграмме \(p\)–\(V\), см. рисунок).

Состояния: 1 — начальное, \(p_1 = p_0\), \(V_1 = Sh\); 2 — поршень начинает подниматься, \(p_2 = \dfrac{kh}{S}\), \(V_2 = Sh\); 3 — конечное, \(p_3 = \dfrac{kH}{S}\), \(V_3 = SH\).

Процесс 1–2 изохорный, процесс 2–3 идёт по прямой \(p(V)\). Первое начало термодинамики для процесса 1–2–3, с учётом \(\Delta U = \dfrac{i}{2}\nu R(T_3 - T_1)\) и работы \(A = \dfrac12(p_2 + p_3)(V_3 - V_2)\) (для одноатомного газа \(i = 3\)): \[Q = \frac{i}{2}\,(p_3V_3 - p_1V_1) + \frac12\,(p_3V_3 - p_2V_2).\] Здесь \(p_3V_3 = kH^2\), \(p_1V_1 = p_0Sh\), \(p_2V_2 = kh^2\). Получаем \[Q = \frac{i}{2}\left(kH^2 - p_0Sh\right) + \frac12\left(kH^2 - kh^2\right),\] откуда \[H = \sqrt{\frac{2Q + i\,p_0Sh + kh^2}{k(i+1)}}.\] При \(i = 3\) (одноатомный газ): \[H = \sqrt{\frac{2Q + 3p_0Sh + kh^2}{4k}}.\]