Два шарика на пружине

Импульс системы меняется только под действием силы тяжести, поэтому его горизонтальная составляющая постоянна. Центр масс движется как брошенное тело с начальной вертикальной скоростью, которую найдите из начальных импульсов.

В произвольный момент импульс системы \(\vec p = (m_1+m_2)\vec v_{0\text{цм}} + (m_1+m_2)\vec g\,t\). По горизонтальной оси импульс сохраняется: \(p_x = m_2 v_2 = 6mv\). Вертикальная начальная скорость центра масс \(v_{0\text{цм}} = \dfrac{m_1 v_1}{m_1+m_2} = \dfrac{3}{5}v\). Максимальная высота центра масс \(H_{\text{м}} = \dfrac{v_{0\text{цм}}^2}{2g}\), половина этой высоты достигается в моменты \(t_{1,2} = \dfrac{v_{0\text{цм}}}{g}\left(1 \mp \dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) (до и после верхней точки).

В момент \(t_1\) вертикальный импульс системы \[p_{y1} = m_1 v_1 - (m_1+m_2)\,v_{0\text{цм}}\left(1 - \frac{\sqrt2}{2}\right) = m_1 v_1\,\frac{\sqrt2}{2}.\] Модуль импульса \[p = \sqrt{p_x^2 + p_{y1}^2} = \sqrt{(m_2v_2)^2 + \tfrac12 (m_1v_1)^2} = \sqrt{(6mv)^2 + \tfrac12 (3mv)^2} = \frac{9\sqrt2}{2}\,mv.\] При повторном прохождении высоты \(h_1\) скорость центра масс имеет ту же величину, поэтому модуль импульса тот же.