Лестница с человеком

Лестница ломается, когда момент силы относительно точки \(O\) достигает критического значения. Найдите момент, который создаёт человек, и посмотрите, при каком его положении этот момент максимален.

Сначала найдём условие разлома. Критический момент сил относительно точки \(O\) равен \(M_{\text{кр}} = F_0h\). По условию лестница ломается, когда момент силы, приложенной к вертикальному отрезку, достигает этой величины. Оба момента, приложенные к разным отрезкам лестницы, стремятся «развернуть» её прямой угол в тупой; пока они меньше \(M_{\text{кр}}\), лестница держится.

Пусть человек находится на расстоянии \(x\) по горизонтали от точки \(B\) (сначала считаем, что он правее точки \(O\), то есть \(x < l\cos^2\alpha\)). Условие отсутствия вращения относительно точки \(B\) даёт \[mgx = N_1 l \quad\Rightarrow\quad N_1 = \frac{mgx}{l}.\] Относительно точки \(O\) момент силы \(N_1\) равен \(M = N_1 l\sin^2\alpha = mgx\sin^2\alpha\). Он растёт с ростом \(x\) и принимает максимум при \(x = l\cos^2\alpha\), то есть когда человек находится в точке \(O\). Чтобы лестница не сломалась в этот момент, нужно \(M < M_{\text{кр}}\): \[mgl\cos^2\alpha\sin^2\alpha < F_0h \quad\Rightarrow\quad \sin 2\alpha < \sqrt{\frac{4F_0h}{mgl}} \quad\Rightarrow\quad \alpha < \frac{1}{2}\arcsin\sqrt{\frac{4F_0h}{mgl}} .\] Случай, когда человек левее точки \(O\), аналогичен: достаточно отсчитывать \(x\) от точки \(A\) и заменить \(N_1\leftrightarrow N_2\) и \(\alpha\) на \(\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\). Неравенство при этом не меняется, и ответ тот же.

Неравенство удобно решать через квадратное уравнение относительно \(\sin^2\alpha\): \[\sin^2\alpha\,(1-\sin^2\alpha) < \frac{F_0h}{mgl} \quad\Rightarrow\quad \sin^2\alpha < \frac{1-\sqrt{1-4F_0h/(mgl)}}{2}.\]