Баллон с газом в хранилище

Давление под поршнем постоянно, значит, концентрация газа под поршнем постоянна. Найдите число молекул, при котором газ заполняет всё хранилище высотой \(H\), и повторите рассуждение для каждой новой температуры.

Пусть \(S\) — площадь поршня, \(V\) — объём под поршнем, \(N\) — число молекул, вытекших из баллона, \(n = N/V\) — концентрация газа под поршнем. Давление поршня на газ постоянно и равно \(p = mg/S\). Из уравнения состояния \(p = nkT\) следует, что концентрация \(n_0 = \dfrac{p}{kT_0}\) постоянна, пока газ вытекает и поршень поднимается.

В первый раз предохранитель сработает, когда газ с концентрацией \(n_0\) заполнит всё хранилище объёма \(SH\), то есть когда число молекул станет равно \[N_1 = n_0 SH = \frac{mgH}{kT_0}.\] После срабатывания температура станет \(T_0 - \Delta T\), а давление поршня останется тем же, поэтому новая концентрация равна \(n_1 = \dfrac{p}{k(T_0-\Delta T)} > n_0\). Поршень при срабатывании опустится. Рассуждая аналогично, получаем, что предохранитель срабатывает, когда число молекул под поршнем равно \[\frac{mgH}{k\,(T_0 - z\,\Delta T)},\] где \(z\) — целое число, показывающее, сколько раз сработал предохранитель.

Весь газ вытечет, когда число молекул под поршнем станет равно \(\nu_0 N_A\): \[\frac{mgH}{k\,(T_0-(z-1)\Delta T)} \le \nu_0 N_A \le \frac{mgH}{k\,(T_0-z\,\Delta T)}.\] Переписывая неравенство относительно \(z\) и учитывая \(kN_A = R\), получаем \[\frac{T_0}{\Delta T} - \frac{mgH}{\nu_0 R\,\Delta T} \le z \le \frac{T_0}{\Delta T} - \frac{mgH}{\nu_0 R\,\Delta T} + 1 .\] Подставляя \(R = 8{,}31\), получаем \(182{,}07 \le z \le 183{,}07\), так что предохранитель сработает \(183\) раза. Конечная температура равна \(T_k = 300 - 183 = 117\) К. По уравнению Клапейрона—Менделеева находим конечный объём и высоту поршня: \(p V_k = \nu_0 R T_k\), откуда \[H_k = \frac{V_k}{S} = \frac{\nu_0 R T_k}{mg} \approx 9{,}92~\text{м}.\]