Бусинки Илона Маска

Лёгкая бусинка, налетающая на тяжёлую снизу, отскакивает от неё почти как от движущейся стенки и получает утроенную скорость. Выясните, как растёт скорость верхней бусинки с ростом числа бусинок.

Скорости всех бусинок при подлёте к земле практически одинаковы; обозначим их \(V\). Нумеруем бусинки снизу вверх. Нижняя отскакивает от земли со скоростью \(V\) и бьёт вторую, которая летит вниз со скоростью \(V\), и т.д.

Рассмотрим столкновение первой и второй бусинок. Если вторая бесконечно легче первой, она отскакивает от неё как от движущейся стенки и получает скорость \(3V\). Это легко увидеть в системе отсчёта первой бусинки: там вторая налетает со скоростью \(2V\) и с той же скоростью отскакивает от неподвижной тяжёлой стенки; возвращаясь в неподвижную систему, получаем \(3V\).

Далее вторая бусинка (летящая вверх) бьёт третью, которая тоже бесконечно легче, и получает скорость \(7V\). Продолжая, для бусинок, каждая из которых гораздо легче предыдущей, \(n\)-я бусинка после отскока имеет скорость \((2n-1)V\) (доказывается по индукции). Поэтому скорость верхней бусинки в \(z\) раз больше первого опыта, если \(2^{N-1} - 1 < z < 2^{N} - 1\) при \(N\) бусинках.

Для Маска \(2^9 - 1 = 511 < 800 < 1023 = 2^{10} - 1\), поэтому нужно не менее \(10\) бусинок. При этом не требуется, чтобы массы отличались в бесконечное число раз: достаточно увеличить скорость в \(800\), а не в \(1023\) раза.

Отметим также, что для достижения космических высот достаточно сбрасывать бусинки с высоты всего \(10\) м: скорость верхней бусинки накапливается в геометрической прогрессии с ростом числа бусинок.