Заклинание головного пузыря

Поверхность пузыря работает как рассеивающая линза с фокусным расстоянием, пропорциональным его радиусу. Радиус пузыря найдите из закона Бойля—Мариотта для газа в нём: объём газа растёт с глубиной не так, как объём головы.

Голова Седрика находится внутри воздушного пузыря; свет к ней приходит от предметов снаружи через воду с коэффициентом преломления \(n\). Сферическая поверхность пузыря работает как рассеивающая линза с фокусным расстоянием \[|f| = \frac{R}{n-1} = \frac{1}{|D|}.\] Действительно, для луча, падающего на сферу под малым углом \(\alpha\), закон преломления в параксиальном приближении даёт \(n\alpha = \beta\), а из треугольников \(OBB'\) и \(BB'F\) следует \(BB' = R\alpha = |f|(n-1)\alpha\). Положение точки \(F\) не зависит от \(\alpha\), значит, все лучи, параллельные оси, выходят из одной точки \(F\). Чтобы компенсировать эту линзу, Седрику нужна собирающая линза той же оптической силы.

Когда Седрик ныряет, радиус пузыря меняется, а с ним меняется оптическая сила. Так как количество газа и его температура постоянны, произведение давления газа на его объём постоянно. Пусть \(V\) — объём газа у поверхности; объём головы равен \(V/3\). На глубине \(H\) давление вдвое больше атмосферного (\(\rho g H = p_0\)), поэтому объём газа равен \(V/2\), и \[\frac{V}{2} + \frac{V}{3} = \frac{4\pi}{3}R_1^3 .\] На глубине \(2H\) давление втрое больше атмосферного, газ сжимается до объёма \(V/3\): \[\frac{V}{3} + \frac{V}{3} = \frac{4\pi}{3}R_2^3 .\] Отсюда \(\dfrac{R_1^3}{R_2^3} = \dfrac{5}{4}\). Так как \(|D|\propto R^{-1}\), получаем \[D' = D\,\frac{R_1}{R_2} = 1{,}3\cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{1/3} \approx 1{,}4~\text{дптр}.\]