Тень от камня

Поместим начало координат в точку бросания камня, направим ось \(X\) в сторону лампочки, а ось \(Y\) вертикально вверх (см. рис. 1.42). Так как камень бросается под углом \(45^\circ\) к горизонту, то горизонтальная составляющая начальной скорости камня равна вертикальной составляющей — обозначим их через \(v\).

В произвольный момент времени \(t\) камень имеет координаты \[x = vt,\quad y = vt - \dfrac{gt^2}{2}.\] Приравнивая координату \(y\) нулю, найдём время \(T\) полёта камня: \(T = 2v/g\). Так как хулиган попал в лампочку, то \(L = vT = 2v^2/g\).

С учётом этих соотношений для координаты тени камня на стене в момент времени \(t\) имеем: \[h(t) = L\operatorname{tg}\alpha = L\dfrac{y}{L - x} = L\dfrac{vt - (gt^2/2)}{L - vt} = \dfrac{L}{v}\cdot vt\cdot\dfrac{v - (gt/2)}{L - vt} =\] \[= vt\cdot\dfrac{vT - (gT/2)t}{L - vt} = vt\cdot\dfrac{L - vt}{L - vt} = vt = t\sqrt{\dfrac{gL}{2}},\] то есть тень камня движется по стене равномерно со скоростью \(v = \sqrt{gL/2}\).