Катапульта

В зависимости от угла \(\alpha\) катапульта может стрелять в двух режимах — проскальзывая по земле и будучи заклиненной трением. Получим условие проскальзывания катапульты.

Пружина катапульты, выталкивая груз с силой \(F\), действует на её основание с такой же по модулю и противоположной по направлению силой. Так как масса катапульты много меньше массы груза, то её весом по сравнению с силой \(F\) можно пренебречь. Тогда условие начала проскальзывания имеет вид: \[F\cos\alpha_0 = \mu N = \mu F\sin\alpha_0,\] откуда \(\operatorname{tg}\alpha_0 = 1/\mu\). При стрельбе в режиме проскальзывания, когда \(\alpha < \alpha_0\), пружина не может действовать на груз в горизонтальном направлении с силой большей, чем сила трения скольжения \(\mu N\). Значит, горизонтальная компонента ускорения снаряда равна \[a_1 = \dfrac{\mu N}{m} = \dfrac{\mu F\sin\alpha}{m}.\] В режиме заклинивания горизонтальная компонента ускорения сообщается грузу горизонтальной составляющей силы \(F\): \[a_2 = \dfrac{F\cos\alpha}{m}.\] Видно, что ускорения \(a_1\) и \(a_2\) монотонно возрастают; первое — при увеличении угла \(\alpha\) от 0, второе — при уменьшении угла \(\alpha\) от \(\pi/2\), и достигают максимума при пограничном значении угла \(\alpha = \alpha_0\), соответствующем началу проскальзывания. Выражая \(\sin\alpha_0\) или \(\cos\alpha_0\) через \(\operatorname{tg}\alpha_0\), для искомой величины максимального горизонтального ускорения груза получаем: \[a_{\max} = \dfrac{F}{m}\cdot\dfrac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}.\]