Пробка во вращающейся трубке

Рассмотрим неподвижную жидкость массой \(\Delta m\) в объёме, равном объёму пробки. В обычных земных условиях на него действует сила тяжести \(\Delta mg\), направленная вниз. Она уравновешивается силами давления, действующими на этот объём со стороны соседних слоёв жидкости. Равнодействующая сил давления представляет собой выталкивающую Архимедову силу, направленную в сторону уменьшения давления в жидкости, то есть вверх. Она, очевидно, равна \(F_1 = \Delta mg\).

Пусть теперь рассматриваемый элементарный объём жидкости находится во вращающейся трубке. Так как он движется по окружности, то на него, кроме силы тяжести и силы \(F_1\), должна действовать сила, направленная к оси вращения и обеспечивающая ему центростремительное ускорение. Такой силой может быть только равнодействующая сил давления, возникающих внутри жидкости. По величине она равна \(F_2 = \Delta m\omega^2r\), где \(r\) — расстояние от выделенного элемента жидкости до оси вращения. Эта сила, подобно силе \(F_1\), пропорциональна массе элементарного объёма и направлена в сторону уменьшения давления, то есть к оси, вокруг которой вращается трубка. Силы \(F_1\) и \(F_2\), складываясь геометрически, дают силу Архимеда \(F_{\text{Арх}}\), действующую на вращающийся выделенный объём жидкости. Отметим, что Архимедова сила в данном случае направлена под углом к вертикали.

Так как в условии задачи сказано, что пробка лёгкая (это означает, что её масса много меньше массы \(\Delta m\) вытесненной ею жидкости), то действующую на пробку силу тяжести можно не учитывать, и принимать во внимание только силы \(F_1\) и \(F_2\). Для того, чтобы пробка покоилась, сумма этих сил не должна иметь составляющей, направленной вдоль трубки, то есть должна быть перпендикулярна трубке. Из рисунка 1.88 видно, что для этого должно выполняться соотношение: \(F_2\sin\alpha = F_1\cos\alpha\), или \(\Delta m\omega^2\dfrac{l}{2}\sin^2\alpha = \Delta mg\cos\alpha\). Отсюда \[\omega = \dfrac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\dfrac{2g\cos\alpha}{l}}.\] Отметим, что положение пробки при данной частоте вращения будет устойчивым. Действительно, при неизменной составляющей силы Архимеда \(F_1\), обусловленной силой тяжести, смещение пробки вверх приводит к увеличению её расстояния от оси вращения, в результате чего увеличивается составляющая силы Архимеда \(F_2\). В результате появляется составляющая силы, направленная вдоль трубки вниз, которая возвращает пробку в прежнее положение. При смещении пробки вниз картина обратная.