Два автомобиля у перекрёстка
4/10По двум пересекающимся под углом \(\alpha = 30^\circ\) дорогам движутся к перекрёстку два автомобиля: один со скоростью \(v_1 = 10\) м/с, второй — с \(v_2 = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3\) м/с. Когда расстояние между автомобилями было минимальным, первый из них находился на расстоянии \(S_1 = 200\) м от перекрёстка. На каком расстоянии \(S_2\) от перекрёстка в это время находился второй автомобиль?
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ\(S_2 = S_1/(2\cos\alpha) = S_1/\sqrt{3} \approx 115\) м.
РешениеПостроим вектор скорости \(\vec v_{\text{отн}}\) первой машины относительно второй (см. рисунок 1.23).
Отрезок \(AB\), соединяющий машины в момент их наибольшего сближения, перпендикулярен этому вектору. Из рисунка видно, что \(v_{\text{отн}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}} = v_1\), то есть векторный треугольник — равнобедренный. Следовательно, угол \(\beta = 90^\circ - 2\alpha = 30^\circ = \alpha\), и треугольник \(AOB\) также является равнобедренным. Поэтому \(S_2 = OB = S_1/(2\cos\alpha) = S_1/\sqrt{3} \approx 115\) м.
Похожие задачи
- Автобус, велосипедист и грузовик МОШ 1997/98, 9 кл.
- Относительная скорость двух тел ВсОШ 1997/98, 9 кл.
- Медведь, заяц и утка МОШ 2010/11, 7 кл.
- Эскалатор МОШ 2011/12, 7 кл.
- Змейка и ворота МОШ 2011/12, 8 кл.
- Две улитки на квадрате Курчатов 2012/13, 8 кл.