Капля на потолке

Вначале рассмотрим неподвижную сферическую каплю радиусом \(R\), не соприкасающуюся ни с какой поверхностью и находящуюся в невесомости. Если мысленно рассечь каплю плоскостью, то сила, действующая на отсечённую часть со стороны остальной части капли, должна равняться нулю. Эта сила, как и в предыдущей задаче, складывается из силы поверхностного натяжения и силы давления, возникающей за счёт искривления поверхности жидкости. Проще всего давление \(p\) внутри капли искать, рассекая каплю диаметральной плоскостью. При этом получаем, что суммарная сила поверхностного натяжения действует перпендикулярно этой плоскости в направлении другой части капли и равна \(2\pi R\sigma\), а сила давления «отталкивает» отрезанную часть капли и равна \(\pi R^2\cdot p\). Приравнивая эти силы, получим, что \(p = 2\sigma/R\). Заметим, что под цилиндрической поверхностью жидкости (см. решение задачи 2.72) давление было вдвое меньше.

Теперь рассмотрим условия равновесия капли, прилипшей к потолку. Из сказанного выше ясно, что при наличии силы тяжести форма капли не может оставаться сферической — иначе она сразу оторвётся от потолка! Под действием силы тяжести капля вытягивается вниз, и её кривизна в верхней части уменьшается так, чтобы сумма сил поверхностного натяжения, давления и тяжести равнялась нулю. Вблизи точек контакта капли с потолком форма поверхности вместо сферической становится конической, а дополнительное давление под такой искривлённой поверхностью, очевидно, уменьшается вдвое. Для оценки массы отрывающейся капли будем считать, что её форма всё же близка к сферической, а отрыв происходит, когда «сила притяжения» (то есть сумма сил поверхностного натяжения и давления), удерживающая каплю на потолке, становится равной весу капли \(mg\).

Если краевой угол смачивания \(\theta > \pi/2\) (несмачивание или плохое смачивание, см. рис. 2.73.1), то сила притяжения, равная, по аналогии с задачей 2.72, \[2\pi r\sigma\sin\theta - \pi r^2\cdot\dfrac{\sigma}{R} = \pi\sigma R\sin^2\theta\] (здесь учтено, что \(r = R\sin\theta\)), должна быть порядка \(mg = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho g\), где \(\rho\) — плотность воды. Отсюда \(R \approx \sqrt{\dfrac{3\sigma}{4\rho g}}\sin\theta\), а \[m \approx \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi\rho\left(\dfrac{\sigma}{\rho g}\right)^{3/2}\sin^3\theta,\] то есть очень быстро убывает при \(\theta \to \pi\).

Другая ситуация возникает, если краевой угол смачивания \(\theta < \pi/2\) (частичное или полное смачивание, см. рис. 2.73.2).

В этом случае кривизна поверхности капли в верхней части, контактирующей с потолком, ещё меньше (поверхность может быть даже вогнутой!), а отрыв капли происходит по «перетяжке», где поверхность цилиндрическая. Условие отрыва имеет вид: \(\pi\sigma R = \dfrac{2}{3}\pi R^3\rho g\), откуда \[R = \sqrt{\dfrac{3\sigma}{2\rho g}},\quad\text{и}\quad m \approx \sqrt{\dfrac{3}{2}}\,\pi\rho\left(\dfrac{\sigma}{\rho g}\right)^{3/2} \approx 0{,}1\text{ г}.\] Таким образом, в этом случае масса оторвавшейся капли не зависит от краевого угла \(\theta\).

Отметим, что полученные результаты являются оценочными.