Ускоренное движение

Из трёх пар «координата — время» ускорение находят, учитывая ненулевую начальную скорость в первом датчике; зависимость \(a\) от \(\sin\alpha\) линейна, а для скольжения с трением линеаризуй \(a/\sin\alpha\) от \(\mathrm{ctg}\,\alpha\).

3) \(a=2\,\dfrac{x_3/t_3-x_2/t_2}{t_3^2-t_2^2}\);  4) \(a=f(\sin\alpha)\) линейна, \(a=\frac{7}{5}g\sin\alpha\) (по оригиналу);  6) шарики разных диаметров скатываются одинаково;  7) цилиндр начинает соскальзывать при \(\alpha\approx20^\circ\);  8) \(a=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha\), график \(Y=\dfrac{a}{\sin\alpha}\) от \(X=\mathrm{ctg}\,\alpha\): \(Y=g-\mu gX\).

1. Измерения координат датчиков проводятся с помощью линейки. Для разных установок положения датчиков могут отличаться в пределах \(\pm 2\) см.

2. Датчики позволяют снимать времена прохождения шарика сквозь них. Причем счет времени запускается при прохождении первого датчика. Таким образом, в результате одного эксперимента имеет три пары чисел – результатов измерений: координаты и времена прохождения: \((x_1, t_1), (x_2, t_2), (x_3, t_3)\). Оптимальным способом доказательства, того что движение является равноускоренным является построение линеаризованной зависимости \(\frac{x}{t}(t)\). Эксперимент однозначно подтверждает, что эта зависимость линейная, следовательно, движение шарика – равноускоренное.

3. При выводе расчетной формулы следует учесть, что при прохождении первого датчика шарик уже имеет некоторую начальную скорость \(v_0\). Поэтому координаты датчиков и времена их прохождения связаны соотношениями:

\[\begin{aligned} x_1 &= v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2} \\ x_2 &= v_0 t_2 + \frac{a t_2^2}{2} \\ x_3 &= v_0 t_3 + \frac{a t_3^2}{2} \end{aligned}\tag{1}\]

Это система трех уравнений с двумя неизвестными (ускорение и начальная скорость), для ее решения можно выбрать любые два уравнения. Для повышения точности следует взять второе и третье уравнения, из которых следует, что ускорение можно рассчитать по формуле:

\[a = 2 \frac{\frac{x_3}{t_3} - \frac{x_2}{t_2}}{t_3^2 - t_2^2}.\tag{2}\]

4. Угол наклона трубки можно изменять с помощью лапки штатива. В качестве меры угла можно измерить (с помощью линейки) синус этого угла:

\[\sin \alpha = \frac{h}{l}.\tag{3}\]

Где \(l\) -длина трубки. \(h\) - высота приподнятого конца трубки. Для построения исследуемой зависимости следует измерить ускорения не менее, чем при 5 значениях углов наклона. При каждом угле наклона следует проводить несколько измерений, а потом усреднить их результаты. Для того, чтобы получить линейную зависимость, следует построить график зависимости ускорения от синуса угла наклона \(a = f(\sin \alpha)\). Эксперимент дает результаты очень близкие к теоретической зависимости

\[a = \frac{7}{5} g \sin \alpha.\tag{4}\]

5. Для второго шарика результаты получаются практически такими же.

6. Из эксперимента однозначно следует, что шарики разных диаметров скатываются одинаково.

7. Измерения со скользящим цилиндром проводятся аналогично. Имеются два существенных отличия от скатывания шарика: первое, времена соскальзывания существенно больше; второе, имеет некоторый минимальный угол наклона (примерно \(20^\circ\)), при котором начинается соскальзывание.

8. Теоретическая зависимость ускорения от угла наклона изучается в курсе физики и имеет вид:

\[a = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha .\tag{5}\]

Для того, чтобы использовать все экспериментальные данные, необходимо линеаризовать зависимость (5), что можно сделать различными способами. Наиболее предпочтительным является построение линейной зависимости величины \(Y = \frac{a}{\sin \alpha}\) от величины \(X = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\):

\[Y = g - \mu g X .\tag{6}\]

По коэффициентам этой зависимости легко рассчитываются требуемые величины: ускорение свободного падения и коэффициент трения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.