Заряженный шарик и сетка

Пусть сетка делает оборот за \(T\), траектория замыкается за \(2T\). Сетка создаёт однородное поле, поэтому на шарик действует сила постоянной модуля \(F\), а её направление вращается вместе с сеткой. Вектор ускорения \(a=F/m\) имеет постоянный модуль и вращается с угловой скоростью \(\omega=2\pi/T\), как у равномерного движения по окружности радиуса \(a/\omega^2\) со скоростью \(V=a/\omega\). Переходя в систему, движущуюся вдоль оси \(y\) со скоростью \(V\), видим, что шарик вращается по окружности со скоростью \(V\), поэтому в исходной системе его траектория — дуга циклоиды. Вторая встреча с сеткой — через время \(T\) в точке, симметричной \(C\) относительно \(O\), \(|OC|=|OD|=\pi R\).

Скорость шарика \(v\) — векторная сумма \(V\) (вращение) и \(V\) (смещение центра), угол между ними \(\varphi=\omega t\). Максимальная скорость \(v_{\max}=2V\) при \(\varphi=0\). Кинетическая энергия больше четверти максимальной, когда \(v>V\), то есть \(\varphi\in[\pi/3,\,5\pi/3]\). Доля времени \[\frac{(5\pi/3-\pi/3)}{2\pi}=\frac{2}{3}.\] Явно: \(v_x=\dfrac{a}{\omega}\sin\omega t\), \(v_y=\dfrac{a}{\omega}(1-\cos\omega t)\), что даёт ту же долю времени.