Задачи › Холодильник и тепловой насос

Инженер и тепловые резервуары

  1. Инженер и тепловые резервуары

    Санкт-Петербургская 2018/19, 11 кл.
    7/10

    Инженер использует сосуд с газом под поршнем для перекачивания тепла из окружающей среды в более горячие тепловые резервуары. У него \(N\) резервуаров, в которых поддерживают постоянные температуры \(T_1,T_2,\ldots,T_N\). Температура окружающей среды постоянна и равна \(T_0\). Инженер проводит следующий цикл. Сначала в ходе изотермического процесса газ отбирает тепло у окружающей среды. Затем газ в сосуде адиабатически сжимают, нагревая его до температуры \(T_1\) первого резервуара, после чего передают тепло этому резервуару в изотермическом процессе. Далее температуру газа адиабатически изменяют до \(T_2\), затем тепло передают второму резервуару. Эту процедуру (адиабатическое изменение температуры и передачу тепла) повторяют со всеми резервуарами. Передав тепло последнему резервуару, газ адиабатически расширяют, уменьшая его температуру до \(T_0\), при этом газ возвращается в исходное состояние. За цикл все резервуары получают одинаковое количество теплоты. При какой температуре \(T_0\) суммарное переданное резервуарам тепло более чем в два раза превосходит тепло, отобранное у окружающей среды? Все процессы протекают обратимо и квазистатически.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сравните цикл с набором обратных циклов Карно: каждый участок изотермы \(T_0\) между адиабатами соответствует маленькому циклу с одним резервуаром.

    Ответ

    \(T_0<\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{N}{\sum_i 1/T_i}\Bigr)=\dfrac{\overline{T}_{\text{гарм}}}{2}\), где \(\overline{T}_{\text{гарм}}\) — среднее гармоническое температур всех резервуаров.

    Решение

    Если бы был один резервуар, цикл был бы обратным циклом Карно. Для прямого цикла Карно \(Q_Н=A+Q_Х\) и \(Q_Х=Q_Н T_Х/T_Н\). В обратном цикле соотношения сохраняются. Продлим все адиабаты до изотермы \(T_0\): она делится на \(N\) частей \(A_1A_0,\ldots,A_NA_{N-1}\), и каждая часть соответствует маленькому циклу Карно с одним резервуаром. Пусть каждому резервуару передано тепло \(Q\), тогда полное тепло резервуарам \(Q_п=NQ\). Тепло, отобранное у окружающей среды на участке под изотермой \(T_i\), равно \(Q_i=QT_0/T_i\), а полное \[Q_о=QT_0\sum_i\frac{1}{T_i}.\] Условие \(Q_п>2Q_о\) даёт \[T_0<\frac{1}{2}\,\frac{N}{\sum_i 1/T_i}=\frac{\overline{T}_{\text{гарм}}}{2}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх