Задачи › Импульс, закон сохранения импульса

Космонавт и пистолет

  1. Космонавт и пистолет

    Санкт-Петербургская 2014/15, 9 кл.
    6/10

    Космонавт массой \(M\) выполнял ремонтные работы около космической станции, имеющей форму шара радиуса \(R\). В результате непредвиденных обстоятельств он оказался в точке \(K\) (см. рис.), а его средство связи — в точке \(C\), причём \(KO = 2R\), \(KC = nR\). Космонавту необходимо добраться до средства связи, чтобы подать сигнал тревоги; при этом в точке \(C\) он должен оказаться неподвижным до окончания спасательной операции. Оттолкнуться космонавту не от чего, но у него есть пистолет с тремя пулями массой \(m\) каждая (\(m \ll M\)). Космонавту известно, что пуля вылетает из дула со скоростью \(V\). Стрелять по станции космонавт не имеет права. В каких направлениях он должен произвести каждый выстрел, чтобы справиться с ситуацией? Каково при этом максимальное и минимальное возможное время движения космонавта до \(C\)? Гравитационными силами, действующими на космонавта со стороны станции и других космических объектов, пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Какой импульс получает космонавт при каждом выстреле? Чтобы в точке \(C\) его скорость обнулилась, суммарный импульс трёх выстрелов должен быть равен нулю. Какие направления выстрелов допустимы, если нельзя стрелять в станцию?

    Ответ

    Первый выстрел — под углом \(\alpha\) к направлению \(KO\), \(30^\circ \le \alpha \le 60^\circ\); второй и третий — так, чтобы углы между всеми тремя направлениями были \(120^\circ\). Минимальное время \(t_{\min} = \dfrac{nMR}{mV}\), максимальное \(t_{\max} = \dfrac{2nMR}{\sqrt{3}\,mV}\).

    Решение

    Каждый выстрел сообщает пуле импульс \(mV\), и такой же по модулю импульс получает космонавт, так что его скорость меняется на \(u = mV/M\). Чтобы в \(C\) космонавт был неподвижен, суммарный импульс трёх выстрелов должен быть равен нулю. Двух выстрелов в противоположные стороны недостаточно: первый выстрел пришлось бы направить в станцию. Значит, нужны три выстрела, и углы между любыми двумя направлениями равны \(120^\circ\). Между выстрелами космонавт движется по прямолинейным отрезкам \(KB\) и \(BC\), причём \(\angle KBC = 120^\circ\).

    Рисунок

    Первый выстрел должен быть направлен к \(OK\) под углом \(\alpha\) не менее \(30^\circ\) (при \(\alpha = 30^\circ\) космонавт стреляет по касательной к станции), и не более \(60^\circ\), иначе он пролетит мимо точки \(C\).

    Рисунок

    Все треугольники \(KBC\) с углом \(\angle KBC = 120^\circ\) дают возможные траектории; вершина \(B\) лежит на одной окружности. Минимальное время достигается при движении практически по прямой \(KC\) (два первых выстрела почти одновременны, точка \(B\) сдвигается к \(K\)): \(t_{\min} = \dfrac{nR}{u} = \dfrac{nMR}{mV}\). Максимальное время соответствует равнобедренному треугольнику \(KBC\) при \(\alpha = 30^\circ\): путь \(\dfrac{nR}{\cos 30^\circ}\), время \(\dfrac{nR}{u\cos 30^\circ} = \dfrac{2nMR}{\sqrt{3}\,mV}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх