Бусины на спицах

Удобно перейти в систему тележки, учитывая, что нить связывает ускорение бусины вдоль спицы с ускорением тележки. Запишите второй закон Ньютона для бусины вдоль спицы и перпендикулярно ей, а для тележки — по горизонтали.

Система симметрична, поэтому рассматриваем одну бусину и одну тележку. Ускорение тележки по горизонтали равно ускорению бусины вдоль спицы — иначе нить либо порвется, либо будет растягиваться; обозначим его \(a\). Тогда ускорение сближения тележек равно \(2a\).

Уравнение вдоль спицы (с учётом того, что система неинерциальна и проекция горизонтального ускорения на спицу равна \(a\cos\alpha\)): \[ma = mg\sin\alpha - T + ma\cos\alpha.\] Уравнение перпендикулярно спице (\(a_\perp = 0\) для бусины): \[0 = N + ma\sin\alpha - mg\cos\alpha.\] Для тележки по горизонтали: \[Ma = T - T\cos\alpha + N\sin\alpha.\] Решая систему, получаем \(a = \dfrac{mg\sin\alpha}{M + 2m(1 - \cos\alpha)}\), а ускорение сближения тележек равно \(2a = \dfrac{2mg\sin\alpha}{M + 2m(1 - \cos\alpha)}\).