Кольцо и треугольник

Обозначьте сопротивление дуги трети окружности, стороны треугольника и участка \(x\) буквами и постройте эквивалентную схему. Полученное общее сопротивление — функция от \(x\), которую нужно исследовать на максимум.

Обозначим сопротивление трети окружности через \(Z\), сопротивление стороны треугольника через \(Y\), сопротивление участка \(x\) через \(X\), а сопротивление круга с двумя сторонами треугольника через \(A\). Общее сопротивление схемы \[R_{\text{общ}} = \frac{(A + Y - X)X}{A + Y} = \frac{-X^2 + X(A + Y)}{A + Y}.\] Знаменатель не зависит от \(X\), а числитель — парабола с ветвями вниз. Её вершина находится в точке \(X = \dfrac{A + Y}{2}\).

С учётом \(Z = \rho\dfrac{2\pi R}{3}\), \(Y = \rho\sqrt{3}R\) и \(A = \dfrac{2YZ^2}{3YZ + Z^2}\) (в единицах \(\rho\) для \(y = Y/\rho\), \(z = Z/\rho\), \(\alpha = A/\rho\)) получаем \[x = \frac{1}{2}(\alpha + y) = \frac{1}{2}\cdot\frac{3y(y + z)}{3y + z}.\] Подставляя \(y\) и \(z\), находим \[x = R\,\frac{27 + 6\sqrt{3}\,\pi}{18\sqrt{3} + 4\pi} \approx 1{,}4R.\]