Контейнер с газом как ракета

Пока поршень в контейнере, система замкнута: импульс сохраняется, а работа адиабатически расширяющегося газа переходит в кинетическую энергию контейнера и поршня. После вылета поршня молекулы газа, ударяясь о дно, передают контейнеру дополнительный импульс.

До момента, когда поршень покидает контейнер, систему можно считать замкнутой. Из законов сохранения импульса и энергии следует: \[(M + nM_0)v_1 - mu = 0, \tag{1}\] \[\frac{(M + nM_0)v_1^2}{2} + \frac{mu^2}{2} = \Delta U, \tag{2}\] где \(v_1\) — скорость контейнера в момент, когда поршень его покидает, \(u\) — скорость поршня в тот же момент, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа. Газ идеальный и одноатомный, поэтому \[\Delta U = \frac32 nR\Delta T = \frac32 nR(T - T_f); \tag{3}\] \(T_f\) — температура газа в момент, когда поршень покидает контейнер. Эту температуру можно определить по закону адиабатического процесса: \[pV^\gamma = \text{const}.\] С помощью уравнения состояния идеального газа \(pV = nRT\) получаем \[TV^{\gamma-1} = \text{const}, \qquad TV^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}.\] Используя соотношение \(V_f = 2V\) и то, что показатель адиабаты одноатомного газа \[\gamma = \frac{c_p}{c_v} = \frac{\frac52 R}{\frac32 R} = \frac53 ,\] получаем для конечной температуры: \[T_f = T\left(\frac{V}{V_f}\right)^{\gamma-1} = \frac{T}{2^{2/3}} = T\,2^{-2/3}. \tag{4}\] Решая уравнения (1)–(4), получаем \[v_1 = \sqrt{3\left(1 - 2^{-2/3}\right)\frac{mnRT}{(nM_0 + M)(m + nM_0 + M)}}. \tag{5}\] Если масса газа \(nM_0\) много меньше масс контейнера \(M\) и поршня \(m\), уравнение (5) упрощается: \[v_1 = \sqrt{3\left(1 - 2^{-2/3}\right)\frac{mnRT}{M(m + M)}}. \qquad (5')\] Когда поршень покидает контейнер, скорость контейнера дополнительно возрастает до значения \(v_2\) за счёт ударов атомов о дно контейнера. Каждый атом передаёт контейнеру импульс \[p = 2m_A\Delta\overline{v_x},\] где \(m_A\) — масса атома, \(m_A = \dfrac{M_0}{N_A}\), а \(\overline{v_x}\) можно получить через средний квадрат скорости атомов \(\overline{v^2}\) следующим образом: \(\overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = \overline{v^2}\) и \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\), поэтому \(\overline{v_x} = \sqrt{\dfrac{\overline{v^2}}{3}}\). Оказывается, что при упругом ударе одного атома контейнер получает средний импульс \[p = 2\frac{M_0}{N_A}\sqrt{\frac{\overline{v^2}}{3}}.\] Все вычисления сделаны в предположении, что тепловые скорости атомов много больше скорости контейнера и что движение описывается в системе отсчёта, связанной с контейнером.

Учитывая, что о дно контейнера ударяется только половина атомов, полный импульс, полученный контейнером, \[p_t = \frac12 nN_A p = nM_0\sqrt{\frac{\overline{v^2}}{3}}, \tag{6}\] а дополнительное увеличение скорости контейнера \[v_2 = \frac{p_t}{M} = n\frac{M_0}{M}\sqrt{\frac{\overline{v^2}}{3}}. \tag{7}\] Используя формулу для среднеквадратичной скорости \[\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT_f}{M_0}},\] а также уравнение (4) для температуры \(T_f\), получаем окончательный результат для \(v_2\): \[v_2 = 2^{-1/3}\frac{n\sqrt{M_0RT}}{M}. \tag{8}\] Следовательно, конечная скорость контейнера \[\begin{aligned} v &= v_1 + v_2 = \sqrt{3\left(1 - 2^{-2/3}\right)\frac{mnRT}{(nM_0 + M)(m + nM_0 + M)}} + 2^{-1/3}\frac{n\sqrt{M_0RT}}{M} \approx \\ &\approx \sqrt{3\left(1 - 2^{-2/3}\right)\frac{mnRT}{M(m + M)}} + 2^{-1/3}\frac{n\sqrt{M_0RT}}{M}. \qquad (9) \end{aligned}\]