Электрическая лампа

Запишите правила Кирхгофа для схемы потенциометра и выразите сопротивление реостата через КПД, равный отношению мощности лампы к мощности аккумулятора. Исследуйте полученную зависимость \(R(\eta)\) на монотонность.

1) Напряжение \(U_0\) на лампе сопротивлением \(R_0\) регулируется с помощью реостата сопротивлением \(R\). По правилам Кирхгофа получаем: \[I = \frac{U_0}{R} + \frac{U_0}{R - R_x}, \tag{1}\] где \(R - R_x\) — сопротивление части реостата, подключённой параллельно лампе, \(R_x\) — сопротивление остальной части, \[U_0 = E - IR_x . \tag{2}\]

КПД \(\eta\) такой цепи равен \[\eta = \frac{P_\text{лампы}}{P_\text{акк}} = \frac{U_0^2/r}{IE} = \frac{U_0^2}{RIE}. \tag{3}\] Из уравнения (3) видно, что максимальный ток в реостате определяется минимальным значением КПД: \[I_\text{max} = \frac{U_0^2}{RE\eta_\text{min}} = \frac{U_0^2}{RE\eta_0}. \tag{4}\] Зависимость сопротивления реостата \(R\) от КПД \(\eta\) можно определить, подставив в уравнения (1) и (2) значение тока \(I\), полученное из уравнения (3), \(I = \dfrac{U_0^2}{RE\eta}\): \[\frac{U_0}{RE\eta} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R - R_x}, \tag{5}\] \[R_x = (E - U_0)\frac{RE\eta}{U_0^2}. \tag{6}\] Тогда \[R = R_0\eta\frac{E^2}{U_0^2}\,\frac{1 + \eta\left(1 - \dfrac{E}{U_0}\right)}{1 - \dfrac{E}{U_0}\eta}. \tag{7}\] Чтобы ответить на вопросы, нужно исследовать зависимость \(R(\eta)\). Для этого найдём первую производную \(R'_\eta\): \[R'_\eta \propto \left(\frac{\eta + \eta^2\left(1 - \dfrac{E}{U_0}\right)}{1 - \dfrac{E}{U_0}\eta}\right)' \propto\] \[\propto 1 + 2\eta\left(1 - \frac{E}{U_0}\right)\left(1 - \frac{E}{U_0}\eta\right) + \left[\eta + \eta^2\left(1 - \frac{E}{U_0}\right)\right]\frac{E}{U_0} = \eta\left(2 - \frac{E}{U_0}\eta\right)\left(1 - \frac{E}{U_0}\right) + 1 .\] \(\eta < 1\), поэтому полученная производная положительна и функция \(R(\eta)\) возрастает. Это означает, что КПД будет минимальным, когда сопротивление реостата минимально. Тогда \[R \ge R_\text{min} = R_0\eta_0\frac{E^2}{U_0^2}\,\frac{1 + \eta_0\left(1 - \dfrac{E}{U_0}\right)}{1 - \dfrac{E}{U_0}\eta_0} \approx 8{,}53\text{ Ом}.\] Максимальный ток \(I_\text{max}\) можно вычислить по уравнению (4). Результат: \(I_\text{max} \approx 660\text{ мА}\).

2) Так как функция \(R(\eta)\) возрастающая, \(\eta \to \eta_\text{max}\) при \(R \to \infty\). В этом случае полный ток \(I\) будет минимальным и равным \(\dfrac{U_0}{R}\). Поэтому максимальный КПД \[\eta_\text{max} = \frac{U_0}{E} = 0{,}75 .\] Этот случай можно осуществить, включив реостат в цепь с помощью только двух из трёх его выводов. Используемая часть реостата — \(R_1\): \[R_1 = \frac{E - U_0}{I_0} = \frac{E - U_0}{U_0}R_0 \approx 0{,}67\text{ Ом}.\]