Коробка с полосками

Запишите условия равновесия бруска в момент начала скольжения: по нормали, вдоль плоскости и по моментам сил относительно центра масс. Угол наклона выразите через расстояние от бруска до вершины угла.

1.а) Для определения угла наклона плоскости ставим брусок на миллиметровую бумагу и измеряем по ней расстояние \(x\) от бруска до вершины угла, образуемого пластиной с горизонталью. Тогда \(\operatorname{tg}\alpha = h/x\), где \(h\) — высота бруска. При фиксированной высоте наклон однозначно задаётся значением \(x\).

1.б) Если выполнить предложенные действия, обнаружится, что при наждачной полоске у нижнего угла бруска угол наклона, приводящий к проскальзыванию, заметно больше, чем в случае, когда она сверху.

2.а) Рассмотрим начало проскальзывания бруска. Обозначим коэффициенты трения у верхней и нижней полосок \(\mu_1\) и \(\mu_2\) (наждачная бумага — \(\mu_2\), изоляционная лента — \(\mu_1\)), продольный и поперечный размеры бруска \(H\) и \(L\), массу бруска \(m\), ускорение свободного падения \(g\). Введём силы нормального давления \(N_1\) и \(N_2\) в точках 1 и 2 (верхняя и нижняя полоски). В граничном случае силы трения равны \(\mu_1 N_1\) и \(\mu_2 N_2\).

Из равновесия сил по нормали и вдоль пластины, а также из равенства моментов сил относительно центра масс: \[N_1 + N_2 = mg\cos\alpha, \qquad \mu_1 N_1 + \mu_2 N_2 = mg\sin\alpha, \qquad (N_2 - N_1)\frac{L}{2} = (\mu_1 N_1 + \mu_2 N_2)\frac{H}{2}.\] Отсюда \(N_1 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha - \dfrac{H\sin\alpha}{L}\right)\) и \(N_2 = \dfrac{mg}{2}\left(\cos\alpha + \dfrac{H\sin\alpha}{L}\right)\). Подставляя их во второе уравнение, получим связь коэффициентов трения с критическим углом: \[(\mu_1 + \mu_2) + (\mu_2 - \mu_1)\frac{H}{L}\operatorname{tg}\alpha = 2\operatorname{tg}\alpha.\] При полоске с \(\mu_1\) ниже, обозначив критический угол \(\beta\), получим \((\mu_1 + \mu_2) - (\mu_2 - \mu_1)\dfrac{H}{L}\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\beta\). Отсюда \(\mu_1 + \mu_2 = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta\), а для разности коэффициентов трения \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)}{H\,(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}.\]

1.б) и 2.б) \(H\) и \(L\) измеряются с помощью миллиметровой бумаги. Тангенсы углов выражаются через \(h\) и \(x\). Если расстояния от бруска до вершины угла обозначить \(x_1\) и \(x_2\), то \(\operatorname{tg}\alpha = h/x_1\), \(\operatorname{tg}\beta = h/x_2\), и \[\mu_2 - \mu_1 = \frac{2L\,(x_2 - x_1)}{H\,(x_1 + x_2)},\] в которую \(h\) не входит: для нахождения разности коэффициентов трения достаточно измерить лишь \(x_1\), \(x_2\).

3.а) Измерения \(L\) и \(H\) просты и проводятся с ошибкой не больше \(0{,}5\) мм; для \(H\) относительная погрешность не больше 2%. Достаточно однократного аккуратного измерения.

3.б) Измерения расстояния \(x\) менее надёжны: трудно уловить момент начала проскальзывания, а брусок может зацепиться за локальный дефект поверхности бумаги. Поэтому сначала грубо определяем \(x\) с избытком и недостатком, постепенно сужая границы. Влияние локальных дефектов устраняем, помещая брусок на разные места плоскости или слегка постукивая по ней. Так можно сузить границы до диапазона 1–2 мм; при \(x_2 - x_1 \approx 20\)–\(30\) мм относительная погрешность меньше 10%. При троекратном попадании в этот диапазон воспроизводимость измерений считается достаточной.

3.в) Таблица измерений (форма):

Основной вклад в погрешность \(\mu_2 - \mu_1\) вносит погрешность \((x_1 - x_2)\), примерно 10%. По данным организаторов, при приведённых измерениях разность попадает в диапазон от \(0{,}45\) до \(0{,}51\).