Задачи › Движение по окружности

Сизигии в модели звёздной системы

  1. Сизигии в модели звёздной системы

    СПбГУ 2021/22, 8 кл.
    6/10

    Группа восьмиклассников пришла в научный музей на экскурсию, где им на упрощённой модели продемонстрировали явление «сизигии» — выравнивание трёх или более астрономических тел в пределах одной звёздной системы на одной прямой. Модель состояла из неподвижной звезды и вращающейся вокруг неё планеты со спутником. Планета совершала полный оборот вокруг звезды за время \(T_1=12{,}5\) мин, а спутник совершал полный оборот вокруг планеты за время \(T_2=55\) с. Вращение планеты вокруг звезды и спутника вокруг планеты происходит против часовой стрелки. Скорости спутника и планеты постоянны, орбиты — круговые, лежащие в одной плоскости.

    Рисунок

    1. Если вести наблюдения от момента сизигий, сколько всего раз за один оборот планеты вокруг звезды в этой модели будет наблюдаться сизигия?

    2. Петя, увлечённый демонстрацией, решает обойти модель по кругу радиуса \(R=20\) м по часовой стрелке, представляя себя ещё одной планетой в системе (см. рис.). Петя начинает движение ровно в тот момент, когда он, звезда, планета и спутник находились на одной прямой. С какой постоянной скоростью должен двигаться Петя, чтобы в момент следующей сизигии снова оказаться на одной прямой с небесными телами?

    Приведены данные варианта 1. В вариантах 2–4 числа и часть деталей другие (в варианте 2 спутник вращается по часовой стрелке).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сизигия повторяется, когда спутник относительно планеты проходит нужный угол. Найдите, на какой угол за время \(t\) поворачивается планета и спутник, и сравните их угловые скорости.

    Ответ

    1) \(26\);  2) \(v\approx 2{,}0\) м/с.

    Решение

    Обозначим \(P_1\) и \(P_2\) — положения планеты в начальный момент и в момент следующей сизигии, \(S_1\) и \(S_2\) — положения спутника в те же моменты. Сизигия наступает, когда спутник оказывается за планетой относительно звезды. Спутник вращается быстрее, поэтому за время \(t\), пока планета смещается на угол \(\varphi=\angle P_1ZP_2\), спутник должен сместиться из \(S_1\) в \(S_2\) на угол \(180^\circ+\varphi\) (углы \(O_1P_2O_2\) и \(P_1ZP_2\) равны как соответственные при пересечении параллельных прямых).

    Рисунок

    Полный оборот соответствует \(360^\circ\), скорости тел постоянны: \[\frac{\varphi}{t}=\frac{360^\circ}{T_1}, \qquad \frac{\varphi+180^\circ}{t}=\frac{360^\circ}{T_2}.\] Отсюда интервал времени до первой сизигии и угол поворота планеты: \[t=\frac{T_1T_2}{2(T_1-T_2)}\approx 29{,}68~\text{с}, \qquad \varphi=\frac{180^\circ\,T_2}{T_1-T_2}\approx 14{,}2^\circ.\] Число сизигий за один оборот планеты: \(N=\dfrac{T_1}{t}=\dfrac{2(T_1-T_2)}{T_2}\approx 25\) после начала наблюдений; с учётом момента начала наблюдений \(N+1=26\).

    Петя за время \(t\) проходит дугу \(180^\circ-\varphi\) радиуса \(R\), длина которой \((\pi-\varphi)R\) (здесь \(\varphi\) в радианах, \(360^\circ=2\pi\) рад). Его скорость \[v=\frac{(\pi-\varphi)R}{t}=\frac{2\pi R\,(T_1-2T_2)}{T_1T_2}\approx 1{,}95~\text{м/с}\approx 2{,}0~\text{м/с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх