Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Мотоцикл с грузом

  1. Мотоцикл с грузом

    СПбГУ 2023/24, 10 кл.
    6/10

    Вариант 1. Мотоциклист пытается сдвинуть тяжёлый груз массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но груз так и не сдвинулся с места. Определите, груз какой массы нужно закрепить мотоциклисту на оси переднего колеса, чтобы получилось сдвинуть груз с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.

    Вариант 2. Мотоциклист пытается сдвинуть камень массой \(M\) с места с помощью своего заднеприводного мотоцикла. Он привязал груз верёвками к оси заднего колеса, запустил двигатель и стал постепенно увеличивать обороты заднего колеса. В некоторый момент переднее колесо оторвалось от земли, двигатель пришлось заглушить, но камень так и не сдвинулся с места. Мотоциклист решает закрепить на корпусе мотоцикла дополнительный груз массой \(\Delta m\), расположив его на отрезке между осями колёс. Определите, на каком расстоянии от оси заднего колеса ему нужно расположить этот груз, чтобы получилось сдвинуть камень с места. Радиус колёс равен \(R\), расстояние между осями колёс равно \(L\), масса мотоцикла с мотоциклистом равна \(m\), а их центр тяжести расположен посередине между осями колёс. Коэффициент трения скольжения колеса о поверхность равен \(\mu\) и монотонно возрастает с частотой обращения заднего колеса.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось: тогда весь вес приходится на заднее колесо. Запишите равенство моментов сил относительно точки опоры.

    Ответ

    Вариант 1: \(\Delta m = \dfrac{m\left(\dfrac{L}{2}-\mu R\right)}{\mu R - L}\) (дополнительный груз на оси переднего колеса).  Вариант 2: \(x = \mu\left(1+\dfrac{m}{\Delta m}\right)R - \dfrac{mL}{2\,\Delta m}\), где \(x\) — расстояние от оси заднего колеса.

    Решение

    Минимальная масса груза соответствует моменту, когда переднее колесо почти оторвалось и весь вес приходится на заднее колесо: \(N_1 = (m+\Delta m)g\). Горизонтальная сила со стороны заднего колеса равна \(\mu N_1\) (она приложена на высоте \(R\)). Условие отрыва переднего колеса \(N_2 = 0\) даёт равенство моментов относительно точки опоры заднего колеса: \[\mu(m+\Delta m)gR = \frac{mgL}{2} + \Delta m\,g\,x,\] где \(x = L\) для варианта 1 (груз на оси переднего колеса) и \(x\) — расстояние от оси заднего колеса для варианта 2. Из этого соотношения получаем ответы.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх