Задачи › Равноускоренное движение

Шайба и лунка между бортиками

  1. Шайба и лунка между бортиками

    СПбГУ 2023/24, 10 кл.
    6/10

    На горизонтальной поверхности закреплены два гладких параллельных бортика, расстояние между ними равно \(L\). Посередине между ними на расстоянии \(H\) друг от друга расположены шайба (Ш) и лунка (Л). По шайбе ударяют, сообщая ей скорость \(v_0\) в направлении к одному из бортов под углом \(\alpha\). Определите минимальное значение угла \(\alpha\), при котором шайба попадёт в лунку. Размерами шайбы и лунки можно пренебречь. Шайба отскакивает от бортиков абсолютно упруго. Коэффициент трения шайбы о горизонтальную поверхность равен \(\mu\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Отражение от бортика упруго, поэтому путь шайбы можно развернуть в прямую, зеркально копируя пространство между бортиками. Длина пути, которую шайба успевает пройти до остановки, ограничена.

    Ответ

    \(\alpha_{min} = \operatorname{arctg}\dfrac{H}{n_{max}L}\), где \(n_{max}\) — наибольшее целое число, не превышающее \(\dfrac{\sqrt{l^2-H^2}}{L}\), и \(l = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}\) — максимальный путь шайбы до остановки.

    Решение

    Сила трения \(\mu mg\) создаёт ускорение \(a = \mu g\), движение равнозамедленное. Максимальный путь до остановки \(l = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}\). Упругие отражения сохраняют модуль скорости, поэтому после каждого удара от бортика можно зеркально отразить пространство между бортиками и считать движение прямолинейным: лунка при \(n\) отражениях оказывается в \(n\)-й зеркальной копии на горизонтальном расстоянии \(nL\) и на вертикальном \(H\) (от шайбы).

    Путь до лунки равен \(l\): \(\sin\alpha = \dfrac{H}{l}\), \(\cos\alpha = \dfrac{nL}{l}\). Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{nL}\), и наименьший угол соответствует наибольшему допустимому \(n\), при котором \((nL)^2 + H^2 \le l^2\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх