Задачи › Спутники, космические скорости

Корректирующий маневр спутника

  1. Корректирующий маневр спутника

    СПбГУ 2023/24, 10 кл.
    5/10

    Вариант 1. Космический зонд массой \(m\) движется вокруг планеты X по перпендикулярной экваториальной плоскости круговой орбите радиуса \(R\) со скоростью \(v\). Период обращения планеты вокруг своей оси равен \(T\), причём \(T \gg 2\pi R/v\). Когда зонд пролетал над северным полюсом, его орбита проходила точно над кратером, расположенным на экваторе, при этом зонд приближался к кратеру. В этот момент зонд совершил корректирующий маневр, выбросив струю газа со скоростью \(u\) относительно зонда в направлении, перпендикулярном плоскости первоначальной орбиты, и в итоге пролетел точно над кратером. Найдите массу топлива, которую выбросил зонд в ходе маневра. Выброс считайте мгновенным, а массу топлива малой по сравнению с массой зонда.

    Примечание: для малых углов \(\alpha\) можно считать \(\sin\alpha \simeq \alpha\), \(\cos\alpha \simeq 1\).

    Вариант 2. Космический зонд массой \(m\) движется по круговой орбите со скоростью \(v\) вокруг планеты X, период обращения которой вокруг собственной оси равен \(T\). Длина орбиты равна \(L\). В момент, когда зонд пролетал над северным полюсом планеты, его скорость была направлена по касательной к окружности, проходящей при первом пересечении экватора над кратером Y. В этот момент зонд совершает корректирующий маневр, выбрасывая струю газа со скоростью \(u\) относительно зонда. В результате маневра модуль скорости зонда и высота орбиты не изменились. Считая выброс мгновенным, определите массу выброшенного топлива, если известно, что, достигнув экватора, зонд пролетел точно над кратером.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Вариант 1: закон сохранения импульса в направлении струи; за время четверти витка планета поворачивается на малый угол. Вариант 2: изменение скорости при неизменном модуле — равнобедренный треугольник векторов.

    Ответ

    Вариант 1: \(\mu = \dfrac{m\,v\sin\alpha}{u+v\sin\alpha} \approx \dfrac{m\,\pi^2 R}{uT+\pi^2R}\), где \(\alpha = \dfrac{\pi^2R}{vT}\).  Вариант 2: \(\mu = \dfrac{m\,|\Delta v|}{u+|\Delta v|}\), где \(|\Delta v| = v\sqrt{2(1-\cos\alpha)}\), \(\alpha = \dfrac{\pi L}{2vT}\).

    Решение

    Вариант 1. Закон сохранения импульса в направлении выброса (скорость зонда до маневра ортогональна ему): \(0 = \mu u - (m-\mu)\,v\sin\alpha\), откуда \(\mu = \dfrac{m\,v\sin\alpha}{u+v\sin\alpha}\). Модуль скорости почти не меняется, направление поворачивается на угол \(\alpha\). Четверть витка от полюса до экватора длится \(t = \dfrac{T}{4} = \dfrac{2\pi R}{4v}\), за это время кратер смещается по поверхности планеты на угол \(\alpha = \dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi^2R}{vT}\). Тогда \(v\sin\alpha \approx \dfrac{\pi^2R}{T}\), и получаем ответ.

    Вариант 2. За время \(t = \dfrac{L}{4v}\) кратер смещается на угол \(\alpha = \dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi L}{2vT}\). Векторы скорости до и после маневра образуют равнобедренный треугольник с углом \(\alpha\) между равными сторонами, поэтому приращение скорости \(|\Delta v| = v\sqrt{2(1-\cos\alpha)}\). Струя должна быть направлена против \(\Delta\vec v\); из закона сохранения импульса \((m-\mu)|\Delta v| = \mu u\), т.е. \(m|\Delta v| = \mu(u+|\Delta v|)\), что даёт ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх