Две доски и сила

Рассмотрите отдельно случай, когда доски движутся как одно целое (трение покоя между ними не превышает предельного значения), и случай, когда верхняя доска проскальзывает.

Проанализируем случаи.

1. Если \(F = 0\), то доски покоятся: \(a_\text{н} = a_\text{в} = 0\) и сила трения покоя \(F_\text{тр.} = 0\).

2. Если доски движутся как единое целое, то \(a_\text{н} = a_\text{в} = \dfrac{F}{M+m}\). Нижней доске сообщает ускорение только сила трения покоя: \(F_\text{тр.} = \dfrac{MF}{M+m}\). Трение покоя ограничено сверху силой трения скольжения \(\mu mg\), поэтому условие «как единое целое» имеет вид \(\dfrac{MF}{M+m} \le \mu mg\), то есть \(F \le \mu mg\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\).

3. Если \(F > \mu mg\left(1+\dfrac{m}{M}\right)\), доски скользят друг относительно друга. Уравнения движения: \(m a_\text{в} = F - \mu mg\), \(M a_\text{н} = \mu mg\). Отсюда \(a_\text{н} = \dfrac{\mu mg}{M}\), \(a_\text{в} = \dfrac{F-\mu mg}{m}\), а сила трения скольжения \(F_\text{тр.} = \mu mg\). Условие \(a_\text{в} \ge 0\) при этом выполняется, так как в этом случае \(F > \mu mg\left(1+\dfrac{m}{M}\right) > \mu mg\).