Троеточие

По обратимости хода лучей две точки должны быть действительными изображениями друг друга, а третья — давать мнимое изображение в одну из них. Запишите формулу линзы для двух источников, считая расстояния вдоль оси равными расстояниям вдоль \(MN\), умноженным на \(\cos\alpha\).

Если линза рассеивающая, то, независимо от положения источника, его изображение будет мнимым, расположенным между источником и оптическим центром линзы. После перемещения источника в точку, где ранее было расположено его изображение, новое изображение окажется снова между источником и оптическим центром линзы. Получится бесконечная цепочка изображений. Таким образом, три точки с указанным свойством в случае рассеивающей линзы существовать не могут.

Линза может быть только собирающей.

Мнимое изображение в собирающей линзе всегда расположено дальше от линзы, чем источник, поэтому не может быть, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются мнимыми изображениями друг друга. Но, в соответствии с принципом обратимости хода световых лучей, при помещении источника в точку действительного изображения, его новое изображение совпадает с предыдущим положением источника. Поэтому описанным в условии свойством три точки могут обладать только в том случае, если две из них являются действительными изображениями друг друга, а при помещении источника в третью он даёт мнимое изображение в одной из точек этой пары. Пусть, например, собирающая линза расположена так, что точка \(A\) находится за её фокальной плоскостью. Тогда изображение \(A\) будет действительным и будет расположено по другую сторону от плоскости линзы. При перемещении источника в точку этого изображения, новое изображение вернётся в точку \(A\). Оставшееся, третье положение источника, должно давать мнимое изображение в одной из первых двух точек. Значит, оно должно располагаться между этой точкой (своим изображением) и оптическим центром линзы \(O\) ближе фокальной плоскости линзы. В этом случае линза могла быть расположена двумя способами (см. рисунок): а) оптический центр линзы находится между точками \(B\) и \(C\), причём источник в точке \(B\) даёт мнимое изображение в точке \(A\); б) оптический центр линзы находится между точками \(A\) и \(B\), причём источник в точке \(B\) даёт мнимое изображение в точке \(C\).

Таким образом, оптический центр линзы мог располагаться как справа, так и слева от точки \(B\).

Если же источник сначала расположить между фокальной плоскостью и плоскостью линзы, то изображение будет получаться мнимым. При помещении источника в точку изображения новое изображение должно получиться действительным (по другую сторону плоскости линзы). И при перемещении источника в оставшуюся, третью точку, изображение окажется на месте, где источник располагался ранее. Этот вариант идентичен представленному ранее и отдельного рассмотрения не требует.

Рассмотрим только способ а) размещения линзы, так как способ б) аналогичен. Источник, расположенный в точке \(B\) на расстоянии меньшем фокусного, даёт мнимое изображение в точке \(A\). При помещении источника в точку \(A\) возникает действительное изображение в точке \(C\), при помещении источника в точку \(C\) — действительное изображение в точке \(A\). Обозначим расстояние между оптическим центром линзы и источником, угол между главной оптической осью линзы и прямой и фокусное расстояние линзы за \(d\), \(\alpha\) и \(F\) соответственно. Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке \(B\): \[\frac{1}{d\cos\alpha} - \frac{1}{(l + d)\cos\alpha} = \frac1F.\] Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке \(A\): \[\frac{1}{(l + d)\cos\alpha} + \frac{1}{(l - d)\cos\alpha} = \frac1F.\] Решая систему, находим \(d\) и \(\alpha\).

Расстояние между оптическим центром линзы и точкой \(B\) равно \(d = l/3\).

Решение системы уравнений даёт: \(\cos\alpha = \dfrac{9F}{4l}\), откуда \(\alpha = \arccos\dfrac{9F}{4l}\). Поскольку в условии сказано, что угол \(\alpha\) является малым, то допустимо на любом этапе вычислений использовать приближённое равенство \(\cos\alpha \approx 1 - \alpha^2/2\). Тогда приходим к формуле \(\alpha \approx \sqrt{\dfrac{4l - 9F}{2l}}\). Отметим, что малость угла означает, что с точностью до поправок порядка \(\alpha^2\) параметры системы связаны соотношением \(l \approx \dfrac94F\).

Угол между главной оптической осью линзы и прямой \(MN\) равен \(\alpha = \arccos\dfrac{9F}{4l}\) или \(\alpha \approx \sqrt{\dfrac{4l - 9F}{2l}}\).