Миллидинамометр

Массивная пружина растягивается и собственным весом: деформация каждого витка определяется весом всей части ниже него. Зависимость длины от массы груза линейна, а по её наклону и сдвигу находятся жёсткость и масса пружины.

1.1) \(L_0=10{,}0\) см, \(L_1=19{,}0\) см;  1.3) \(L=L_0+\dfrac{m_0g}{2k}+\dfrac{mg}{k}\), \(L_{0{,}5}=\dfrac{L_0}{2}+\dfrac{3}{4}\dfrac{m_0g}{k}+\dfrac{mg}{2k}\);  1.4) \(k\approx1{,}0\) мН/см, \(k_{0{,}5}\approx2k\), \(m_0\approx1{,}8\) г;  1.5) \(F=kL-19\) мН при вертикальном положении, \(F=kL-10\) мН при горизонтальном (\(a=k=1{,}0\) мН/см);  2.1) \(\Delta F_{\min}=0{,}2\) мН, \(F_{\max}\approx131\) мН (вертикально) и \(140\) мН (горизонтально) при длине ленты 150 см;  2.2) \(m\approx1{,}7\) г;  2.3) \(\mu\approx0{,}2\).

Часть 1. Исследование пружины.

1.1 Длина недеформированной пружины

\[L_0 = 10{,}0 \text{ см}\tag{1}\]

Длина пружины, растянутой под собственным весом, равна

\[L_1 = 19{,}0 \text{ см}\tag{2}\]

1.2 Результаты измерений зависимости координат конца и середины пружины от массы подвешенного груза приведены в Таблице 1 и на графиках

Таблица 1.

1.3 Чтобы найти требуемые характеристики запишем теоретическую формулу длины целой пружины, считая, что ее деформация подчиняется закону Гука:

\[L = L_0 + \frac{m_0 g}{2k} + \frac{mg}{k}.\tag{3}\]

В этом выражении: Первое слагаемое – длина недеформированной пружины; Второе слагаемое – деформация пружины под действием собственного веса; Третье слагаемое – деформация пружины под действием веса подвешенных скрепок. Аналогично для половины пружины можно записать (учетом того, что ее коэффициент жесткости в два раза больше):

\[L_{0{,}5} = \frac{1}{2} L_0 + \frac{\frac{m_0}{2} g}{2(2k)} + \frac{\left(m + \frac{m_0}{2}\right)g}{2k} = \frac{1}{2} L_0 + \frac{3}{4} \frac{m_0 g}{k} + \frac{mg}{2k}.\tag{4}\]

1.4 Расчет по МНК параметров линейной зависимости \(L = am + b\) дает следующие значения коэффициентов

\[a = 9{,}77 \frac{\text{см}}{\text{г}}, \quad b = 19{,}0 \text{см}.\tag{5}\]

Используя теоретическую зависимость (3), находим требуемые параметры

\[\begin{aligned} a &= \frac{g}{k} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{g}{a} \\ b &= L_0 + \frac{m_0 g}{2k} \quad \Rightarrow \quad m_0 = 2k \frac{b - L_0}{g}. \end{aligned}\tag{6}\]

Подстановка численных значений приводит к результатам

\[k = \frac{g}{a} = \frac{9{,}8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{9{,}77 \frac{\text{см}}{\text{г}}} = 1{,}0 \frac{\text{мН}}{\text{см}}.\tag{7}\]

\[m_0 = 2k \frac{b - L_0}{g} = 2 \cdot 1{,}0 \frac{\text{мН}}{\text{см}} \frac{(19{,}0 - 10{,}0) \text{см}}{9{,}8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 1{,}8 \text{г}\tag{8}\]

Аналогичный расчет для деформации половины пружины подтверждает теоретические построения: коэффициент жесткости оказывается в 2 раза большим, значении массы пружины совпадает с найденным значением.

1.5 Из формулы (3) выразим значение силы

\[\begin{aligned} L &= L_0 + \frac{m_0 g}{2k} + \frac{F}{k} \quad \Rightarrow \\ F &= kL - k\left(L_0 + \frac{m_0 g}{2k}\right). \end{aligned}\tag{9}\]

Откуда следует, что искомые коэффициенты градуировочной функции равны

\[a = k = 1{,}0 \frac{\text{мН}}{\text{см}}, \quad b = -k\left(L_0 + \frac{m_0 g}{2k}\right) = -19 \text{мН}.\tag{10}\]

Полученные значения дают простое правило расчета силы по длине пружины: сила в миллиньтонах равна длине пружины в см минус 19. При горизонтальном расположении динамометра из параметра \(b\) следует исключить деформацию пружины под действием собственного веса. В этом случае значение коэффициента \(a\) остается неизменным, а коэффициент \(b\) становится равным

\[a = k = 1{,}0 \frac{\text{мН}}{\text{см}}, \quad b = -kL_0 = -10 \text{мН}.\tag{11}\]

Часть 2. Характеристики миллидинамометра и его применение.

2.1 При любом положении динамометра его чувствительность (точность измерения силы) равна

\[\Delta F_{\min} = k \Delta x_{\min} = 0{,}2 \, \text{мН}.\tag{12}\]

Максимальное значение силы определяется длиной шкалы измерения длины. Если принять ее равной \(150\) см, то максимальная сила равна \(F_{\max} = 140 \, \text{мН}\) при горизонтальном расположении динамометра и \(F_{\max} = 131 \, \text{мН}\) при вертикальном расположении.

2.2 Непосредственные измерения деформации пружины с подвешенным листом бумаги дают значение массы листа бумаги \(m = 1{,}7 \, \text{г}\).

2.3 Когда пружина находится на поверхности стола необходимо учесть силу трения, действующую на саму пружину, которая также трется о стол. В этом случае необходимо измерить деформации пружины в зависимости от числа скрепок, лежащих на листе бумаги. Тогда коэффициент наклона будет определяться трением бумаги о стол. А сила трения, действующая на пружину, будет влиять только на коэффициент сдвига. В результате измерений получено значение \(\mu \approx 0{,}2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.